Caminhada aleatória: o bêbado e o abismo

BASE

Imagine um bêbado andando sempre para frente em uma enorme planície, mas que tem um abismo em um dos lados. A cada passo para frente, ele cambaleia um certo número de passos para a direção do abismo ou da planície, com igual probabilidade.

Este é um dos processos Markovianos mais simples, chamado caminhada aleatória (random walk) em uma dimensão ¹⁾. Se o bêbado cai no abismo a caminhada acaba (e o bêbado também), uma condição que chamamos de fronteira de absorção (absorbing boundary).

Parâmetros da simulação:

Opção	Parâmetro	O que faz
`Number of Species`	S	número de bêbados
`Step Size`	step	número de passos para o lado que cada bêbado dá a cada instante de tempo
`Maximum Initial Distance`	x1max	máximo de distância dos bêbados ao abismo no início da simulação
`Initial Distance Equal`	alleq=TRUE	selecionado TRUE: todos os bêbados com posição inicial igual a `Maximum Initial Distance` não selecionado FALSE: a posição inicial dos bêbados é um valor sorteado no intervalo 1 até `Maximum Initial Distance`, com igual probabilidade.
`Maximum time`	tmax	tempo total da simulação ( medido em número de passos para frente)

Vamos soltar dez bêbados, que cambaleiam 10 passos a cada intervalo, por dez mil intervalos de tempo. Use os parâmetros:

S =10
step = 10
x1max = 100
alleq = TRUE
tmax = 500

Como em todo processo estocástico, os resultados variam a cada realização. Por isso repita a simulação para se assegurar que entendeu os resultados. Você pode fazer isso repetindo muitas vezes com dez bêbados, ou simplesmente aumentando o número de bêbados, já que que são independentes.

O que acontece se deixamos os bêbados um pouco menos cambaleantes? Experimente reduzir para dois os passos laterais:

S = 10
step = 2
x1max = 100
alleq = TRUE
tmax = 500

Bêbados que balançam menos estão menos sujeitos a terminar no abismo, ou é apenas uma questão de tempo? Certifique-se disto aumentando o número de intervalos de tempo:

S = 10
step = 2
x1max = 100
alleq = TRUE
tmax = 1000

O bêbado tem igual probabilidade de cair para a direita e para esquerda, portanto ele anda em linha reta, na média. Esta caminhada aleatória equiprovável com fronteira de absorção tem um único desfecho, dado tempo suficiente. Qual é?

O mesmo modelo de caminhada aleatória pode ser aplicado à dinâmica de populações sob estocasticidade demográfica. Se supomos tempo contínuo, a qualquer momento cada população pode perder um indivíduo por uma morte, ou ganhar um por nascimento. Assim, as probabilidades de nascimentos e mortes por tempo são funções das taxas instantâneas de nascimentos $b$ e mortes $d$ . Se as duas taxas são iguais, por exemplo, a probabilidade de uma morte é igual à de um nascimento.

A taxa instantânea de crescimento é a diferença entre taxas de nascimentos e mortes ( $r=b-d$ ). A unidade de tempo de $r$ dá a escala de tempo da dinâmica, usada no parâmetro Maximum time.

As opções controlam simulações de populações sob caminhada aleatória em tempo contínuo:

Opção	Parâmetro	Definição
`Enter name for last simulation data set`	objeto no R	nome para salvar os resultados da simulação em um objeto no R
`Maximum time`	tmax	tempo máximo da simulação na escala de tempo das taxas
`Number of simulations`	nsim	número de populações a simular
`Initial size`	N0	tamanho inicial das populações
`birth rate`	b	taxa instantânea de nascimentos ( $b$ )
`death rate`	d	taxa instantânea de mortes ( $d$ )

Simule a trajetória de 20 populações em que as taxas de mortes e nascimentos sejam iguais, e que começam todas com 10 indivíduos. Deixe o tempo passar até 50 unidades. Para isso mude as opções de simulação para os valores a seguir. Você deve ver um gráfico de caminhada aleatória muito parecido com o dos bêbados. O número de populações extintas até Maximun time está indicado no canto superior esquerdo do gráfico.

tmax = 50
nsim = 20
N0 = 10
b = 0.2
d = 0.2

A qual parâmetro da simulação da caminhada do bêbados corresponde cada parâmetros da dinâmica estocástica de nascimentos e mortes?
Os efeitos do passo e do tempo observados na simulação dos bêbados valem para as simulações das populações?
Que consequências esses resultados têm para a conservação e manejo de populações?

Aqui simulamos uma dinâmica equiprovável de nascimentos e mortes com barreira de absorção. Este é um caso particular de processos estocásticos de nascimentos e mortes. Você encontra mais sobre eles na seção de crescimento denso-independente com estocasticidade demográfica.
Chemotaxis - How a Small Organism Finds a Food Source: com excelente explicação sobre caminhadas aleatórias e sua aplicação em outra área da biologia. Projeto de alunos do MIT.

¹⁾

como o bêbado dá sempre um passo adiante, apenas o deslocamento lateral é aleatório, e é o que nos interessa aqui. Usamos os passos para frente como medida de tempo