ecovirt:roteiro:sucess:div_estab
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ecovirt:roteiro:sucess:div_estab [2020/02/02 21:05] prado |
ecovirt:roteiro:sucess:div_estab [2020/02/02 21:10] prado [Equilíbrio com coexistência] |
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|---|---|---|---|
| Linha 56: | Linha 56: | ||
| Para entender isso vamos usar o sistema de [[http://en.wikipedia.org/wiki/Competitive_Lotka%E2%80%93Volterra_equations|equações de competição de Lotka-Volterra]]: | Para entender isso vamos usar o sistema de [[http://en.wikipedia.org/wiki/Competitive_Lotka%E2%80%93Volterra_equations|equações de competição de Lotka-Volterra]]: | ||
| - | \begin{equation} | ||
| - | V_1 \ = \ r_1 N_1 \left( 1 - \frac{N_1 - \alpha N_2}{K_1} \right)$$ | ||
| - | \end{equation} | ||
| - | \begin{equation} | + | $V_1 \ = \ r_1 N_1 \left( 1 - \frac{N_1 - \alpha N_2}{K_1} \right)$ |
| - | V_2 \ = \ r_2 N_2 \left( 1 - \frac{N_2 - \beta N_1}{K_2} \right)$$ | + | |
| - | \end{equation} | + | |
| + | $V_2 \ = \ r_2 N_2 \left( 1 - \frac{N_2 - \beta N_1}{K_2} \right)$ | ||
| Onde para as espécies 1 e 2: | Onde para as espécies 1 e 2: | ||
| Linha 90: | Linha 88: | ||
| Neste sistema de equações os tamanhos populacionais em equilíbrio são (Gotelli 2007): | Neste sistema de equações os tamanhos populacionais em equilíbrio são (Gotelli 2007): | ||
| - | $$\hat N_1 = \frac{K_1-\alpha K_2}{1-\alpha \beta}$$ | + | ${N^*_1} = \frac{K_1-\alpha K_2}{1-\alpha \beta}$ |
| \\ | \\ | ||
| - | $$\hat N_2 = \frac{K_2-\beta K_1}{1-\alpha \beta}$$ | + | $N^*_2 = \frac{K_2-\beta K_1}{1-\alpha \beta}$ |
| A função ''lv.neq'' calcula estes valores. Use-a para obter os tamanhos em equilíbrio usados no comando anterior que produziu o gráfico, e compare com o gráfico: | A função ''lv.neq'' calcula estes valores. Use-a para obter os tamanhos em equilíbrio usados no comando anterior que produziu o gráfico, e compare com o gráfico: | ||
| Linha 106: | Linha 104: | ||
| Há duas condições para a coexistência de competidores no sistema de Lotka-Volterra com duas espécies: | Há duas condições para a coexistência de competidores no sistema de Lotka-Volterra com duas espécies: | ||
| - | $$\frac{1}{\beta} \ > \ \frac{K_1}{K_2} \ > \ \alpha$$ | + | $\frac{1}{\beta} \ > \ \frac{K_1}{K_2} \ > \ \alpha$ |
| \\ | \\ | ||
| - | $$\frac{1}{\beta} \ < \ \frac{K_1}{K_2} \ < \ \alpha$$ | + | $\frac{1}{\beta} \ < \ \frac{K_1}{K_2} \ < \ \alpha$ |
| Vamos verificar a estabilidade dos tamanhos populacionais em equilíbrio sob estas duas condições. A função ''plota.LV'' também tem um argumento para aumentar ou reduzir a população a qualquer momento. | Vamos verificar a estabilidade dos tamanhos populacionais em equilíbrio sob estas duas condições. A função ''plota.LV'' também tem um argumento para aumentar ou reduzir a população a qualquer momento. | ||
| Linha 152: | Linha 150: | ||
| Por exemplo, | Por exemplo, | ||
| - | $$\frac{\partial V_1}{\partial N_1}$$ | + | $\frac{\partial V_1}{\partial N_1}$ |
| é a derivada da velocidade de crescimento da população 1 em relação ao tamanho da população 1, mantida a população 2 fixa. Esta derivada expressa o efeito que uma espécie tem sobre seu próprio crescimento populacional. O efeito da espécie 1 sobre o crescimento da espécie 2 é | é a derivada da velocidade de crescimento da população 1 em relação ao tamanho da população 1, mantida a população 2 fixa. Esta derivada expressa o efeito que uma espécie tem sobre seu próprio crescimento populacional. O efeito da espécie 1 sobre o crescimento da espécie 2 é | ||
| - | $$\frac{\partial V_2}{\partial N_1}$$ | + | $\frac{\partial V_2}{\partial N_1}$ |
| O próximo truque é organizar as derivadas parciais em uma matriz, que podemos ler como a combinação dos efeitos parciais de cada espécie sobre si mesma e sobre a competidora: | O próximo truque é organizar as derivadas parciais em uma matriz, que podemos ler como a combinação dos efeitos parciais de cada espécie sobre si mesma e sobre a competidora: | ||
| - | $$\left( \begin{matrix} \frac{\partial V_1}{\partial N_1} & \frac{\partial V_1}{\partial N_2} \\ & \\\frac{\partial V_2}{\partial N_1} & \frac{\partial V_2}{\partial N_2} \end{matrix} \right) $$ | + | $\left( \begin{matrix} \frac{\partial V_1}{\partial N_1} & \frac{\partial V_1}{\partial N_2} \\ & \\\frac{\partial V_2}{\partial N_1} & \frac{\partial V_2}{\partial N_2} \end{matrix} \right) $ |
| Esta é a **Matriz Jacobiana** do sistema de equações. A diagonal desta matriz tem os efeitos das populações de cada espécie sobre si mesmas. Fora das diagonais temos os efeitos inter-específicos. | Esta é a **Matriz Jacobiana** do sistema de equações. A diagonal desta matriz tem os efeitos das populações de cada espécie sobre si mesmas. Fora das diagonais temos os efeitos inter-específicos. | ||
ecovirt/roteiro/sucess/div_estab.txt · Última modificação: 2020/02/02 21:10 por prado
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