Diferenças

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adalardo
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prado [Os cálculos passo a passo]
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+===== Matrizes de Leslie/Lefkovitch =====
-===== Matriz de Leslie/Leftkovitch =====
-{{matriz.png?300 |}}
+O crescimento de uma população com estrutura etária pode ser projetado utilizando-se álgebra matricial. As matrizes de Leslie contêm informação sobre as taxas de natalidade e mortalidade de diferentes classes etárias de uma população e são uma forma robusta de calcular o crescimento populacional e fazer projeções da população para diferentes cenários. Uma generalização da matriz de Leslie ocorre quando a população é classificada por estágios de desenvolvimento (matriz de Lefkovitch) e não por idade. Neste caso, um indivíduo de uma dada classe pode permanecer no mesmo estádio a cada intervalo de tempo, além de morrer, crescer e reproduzir.
+{{:ecovirt:roteiro:pop_str:matriz.png?400|Matriz de Lefkovitch}}
-O crescimento de uma população com estrutura etária pode ser projetado utilizando-se álgebra matricial. As matrizes de Leslie contêm informação sobre as taxas de natalidade e mortalidade de diferentes classes etárias de uma população e são uma forma robusta de calcular o crescimento populacional e fazer projeções da população para diferentes cenários. Uma generalização da matriz de Leslie ocorre quando a população é classificada por estágios de desenvolvimento (matriz de Leftkovitch) e não por idade. Neste caso, um indivíduo de uma dada classe pode permanecer no mesmo estádio a cada intervalo de tempo, além de morrer, crescer e reproduzir.
 ===== Objetivo =====
 O objetivo desse exercício  é entender como podemos descrever a dinâmica de populações estruturadas com modelos matriciais.
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-Para isso, vamos usar uma planilha eletrônica.
+=====Como abrir a planilha e salvar os arquivos com exercícios resolvidos =====
-===== Multiplicando Matrizes =====
+A) Conecte-se a uma conta Google
-Vamos usar a matriz de transição da população de palmito jussara (//Euterpe edulis//) da parcela permanente da Ilha do Cardoso, de 10,24 hectares para acompanhamento da dinâmica da floresta sobre restinga.
+B) Faça uma cópia da planilha "**euterpe_elasticidade**" que está em formato Google Sheets no Google Drive da disciplina. Para isso clique no link abaixo **com o botão direito do mouse** e escolha a opção "//Abrir link em nova aba//":
-Em 2005 todas as árvores com dap maior que 50 mm  foram marcadas, identificadas e medidas. Em 2009 um novo censo foi feito. Assim, foi possível estimar as probabilidades de um indivíduo em uma certa classe de tamanho permanecer nesta classe, passar à próxima ou morrer. Além disso, o número de novos registros em 2009 estima a quantidade de ingressantes, e permite estimar a fecundidade das populações.
+[[https://docs.google.com/spreadsheets/d/1oYBinDXCxCA08OM6yhWViFhfKSAkR58rz6dfrLGFufQ/copy|Clique aqui para a planilha do exercício]]
+C) Você será direcionado(a) para uma página perguntando se você deseja fazer uma cópia da planilha. Confirme que sim e uma cópia será gravada no seu Google Drive, e em seguida aberta.
+D) Use esta planilha para realizar os exercícios a seguir.
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+=====O que é essa planilha?=====
+Nessa planilha temos a matriz de transição de uma população de palmito jussara (//Euterpe edulis//) existente na parcela permanente da Ilha do Cardoso. Essa parcela é uma área de 10,24 hectares na qual vem sendo realizado um acompanhamento da dinâmica da floresta sobre restinga.
+No ano de 2005 todas as árvores dessa espécie com dap (diâmetro à altura do peito) maior que 5 cm foram marcadas e medidas. Em 2009 um novo censo foi feito. Assim, foi possível estimar as probabilidades de um indivíduo em uma certa classe de tamanho permanecer nesta classe, passar à próxima classe ou morrer. Além disso, o número de novos registros em 2009 estima a quantidade de ingressantes, e permite estimar a fecundidade das populações.
 <WRAP center round help 85% >
-Nesse exercício vamos dividir as árvores em três classes de tamanho:
+Para esse exercício dividimos as árvores em três classes de tamanho:
-  * **A**: adultos, acima de 90 mm de dap
+  * **Adultos (Ad)**: acima de 9,0 cm de dap
-  * **B**: jovens de 71 a 90 mm de dap
+  * **Jovens 2 (J2)**: de 7,1 a 9,0 cm de dap
-  * **C**: jovens de até 71 mm de dap
+  * **Jovens 1 (J1)**: de 5,0 a 7,1 cm de dap
 __Como estimamos as probabilidades de transição?__
-Em 2005 havia 1343 árvores da menor classe de tamanho (C). Dessas, 989 continuavam nessa classe em 2009, e 238 passaram à classe seguinte. Assim, a probabilidade de permanência nessa classe em 4 anos é de
+O número de árvores em cada classe registrado em 2005 será nosso ponto de partida. Esses números estão nas células ''H4'' a ''H6'' da planilha.
-$$p_{(C \rightarrow C)} = \frac{989}{1343} = 0,736 $$
+Em 2005 havia 1343 árvores da menor classe de tamanho (Jovens 1). Dessas, 989 continuavam nessa mesma classe em 2009 e 238 passaram à classe seguinte (Jovens 2) e o restante das árvores (8,9%) morreu. Assim, a probabilidade de permanência na classe Jovens 1, em 4 anos, é de:
-E a probabilidade de passar à classe seguinte é:
+$$p_{(J1 \rightarrow J1)} = \frac{989}{1343} = 0,736 $$
-$$p_{(C \rightarrow B)} = \frac{238}{1343} = 0,177 $$
+E a probabilidade de passar à classe seguinte (J2) é:
-O restante das árvores (8,9%) morreu. Repetimos o cálculo para todas as permanências e transições.
+$$p_{(J1 \rightarrow J2)} = \frac{238}{1343} = 0,177 $$
+Depois, repetimos o cálculo para todas as permanências e transições entre as três classes (J1, J2 e Ad).
 __Como estimamos a fecundidade?__
-Em 2005 havia 265 árvores adultas na parcela. Em 2009 foram registrados 360 ingressantes.
+Em 2005 havia 265 árvores adultas na parcela. Em 2009 foram registrados 293 ingressantes na classe J1.
-Então estimamos a fecundidade pela média de ingressantes em relação aos adultos:
+Então estimamos a fecundidade pela média de ingressantes em relação aos adultos((Esse método de calcular a fecundidade é bem simplista, mas para a compreensão dos cálculos de uma matriz de transição será adequado e suficiente)):
+$$F_{(Ad \rightarrow J1)} = \frac{293}{265} = 1,105 $$
-$$F_{(A \rightarrow C)} = \frac{360}{265} = 1,105 $$
+A partir desses cálculos foi então construída a matriz de transição completa que está na planilha, localizada nas células ''C4'' a ''E6''. Analise essa matriz e veja se você compreende como foi calculado o valor de cada célula.
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-====Os cálculos passo a passo====
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-  * **1.** Baixe para seu computador e abra {{euterpe2018.xls|a planilha}} com a matriz de transição. O número de árvores em cada classe registrado em 2005 será nosso ponto de partida. Esse número está nas células ''H4'' a ''H6'' da planilha.
+===== Exercício: Multiplicando Matrizes =====
+====Os cálculos passo a passo====
-  * **2.**   Multiplique o vetor de tamanho da população pela matriz de transição. Para isso, posicione o cursor na célula ''I4'', em seguida clique no menu INSERIR/FÓRMULA/MATRIZ (Excel) ou INSERIR/FUNÇÃO/MATRIZ (Calc) e escolha a função de multiplicação de matrizes, (M.MULT ou MATRIZ.MULT dependendo da versão do programa). Indique, na caixa de diálogo da função, o que deve ser multiplicado: primeiro a matriz de transição e depois o vetor da população. ** Atenção: ** antes de  qualquer movimento (ou respiração) **faça os passos 3 e 4**, caso contrário, você corre o risco de entrar no vórtex infinito do Excell 8-O
+    * **1.** Vamos multiplicar o vetor de tamanho da população (células ''H4'' a ''H6'') pela matriz de transição (células ''C4'' a ''E6''). Para isso, posicione o cursor na célula ''I4'', escreva a seguinte fórmula =MMULT(\$C\$4:\$E\$6 ; H4:H6) e clique ''Enter/OK''
+O símbolo de ''$'' colocado na frente das letras e números fixa a seleção das linhas e colunas referentes à matriz de transição na fórmula. Dessa forma, se você copiar a fórmula para outras colunas/linhas a fórmula continuará usando a mesma matriz de transição. Isso ajudará a projetar a população automaticamente, sem a necessidade de refazer o passo anterior para cada tempo. **Não fixe o vetor de tamanho da população, ou seja a segunda parte dentro dos parênteses.**
-  * **3.** Na caixa de diálogo da função coloque o símbolo de **$** na frente das letras e números do código de seleção das colunas e linhas referentes à localização da matriz de transição na planilha (ex: ''$C$4:$E$6''). Isso fixa a seleção da matriz de transição na fórmula e ajuda a projetar a população automaticamente, sem a necessidade de refazer o passo anterior para cada tempo. **Não fixe o vetor de tamanho da população, apenas a matriz.  **
+O resultado da multiplicação é um vetor com o número de indivíduos em cada uma das classes no instante de tempo seguinte (t+1). Esses três valores devem estar agora na coluna correspondente ao tempo 2 (células ''I4'' a ''I6'').
-  * **4.** O resultado da multiplicação é um vetor com o número de indivíduos no instante de tempo seguinte (t+1) para cada uma das classes. Esses três valores devem estar agora na coluna correspondente ao tempo 2 (células ''I4'' a ''I6'').
+/*
+Obs.Dri.: Ocultei essa parte porque não precisa para o Google Sheets!!!
 <WRAP center round important 60%>
@@ Linha 76: / Linha 103: @@
 Isso deve resolver! Os valores projetados para o tempo 2 deverão estar preenchidas nas células ''I4'' a ''I6'' ao final dessa operação.\\
 Obs.: Se você tem um Mac, a sequência de teclas que devem ser pressionadas é um pouco diferente. Pressione as teclas **control+U** e em seguida **command+return (ou command+enter)**
 </WRAP>
+*/
-  * ** 5. ** Para projetar a população para os intervalos de tempo seguintes, você pode proceder de duas formas diferentes: 1) Selecione todo o vetor (as três células da coluna com o resultado - certifique-se que a fórmula está com os símbolos ''$''), copie e cole na coluna seguinte. Repita esse procedimento para várias colunas (ou seja, vários tempos futuros) até a coluna que desejar projetar a população; 2) Selecione todo o vetor (as três células da coluna com o resultado - certifique-se que a fórmula está com os símbolos ''$''), em seguida encontre o sinal de ''+'' que aparece na canto inferior direito da seleção ao posicionar o mouse, clique e arraste horizontalmente até a coluna que deseja projetar a população.
+  * ** 2. ** Para projetar a população para os intervalos de tempo seguintes, você pode proceder de duas formas diferentes: 1) Selecione todo o vetor (as três células da coluna com o resultado - certifique-se que a fórmula está com os símbolos ''$''), copie e cole na coluna seguinte. Repita esse procedimento para várias colunas (ou seja, vários tempos futuros) até a coluna que desejar projetar a população; 2) Selecione todo o vetor (as três células da coluna com o resultado - certifique-se que a fórmula está com os símbolos ''$''), em seguida posicione o cursor sobre o quadradinho azul que aparece no canto inferior direito da seleção até aparecer o sinal de "+", clique, segure e arraste horizontalmente até a coluna que deseja projetar a população.
+/*
+IDEM ANTERIOR SOBRE OCULTAR
 <WRAP center round important 60%>
 Caso sua planilha entre no modo **VORTEX INFINITO ** (ou seja, o Excel tomou conta do computador e fica mandando uma mensagem de erro toda vez que você respira) pressione a tecla **ESC** várias vezes até que a planilha saia do transe.
 </WRAP>
+*/
+  * **3.**  Após projetar a população por 25 intervalos de tempo, produza um gráfico com o número de indivíduos de cada classe ao longo do tempo e inclua também o total da população ao longo do tempo. Para obter o total da população basta fazer, para cada tempo, a soma do número de indivíduos das três classes. Verifique nesse gráfico o que acontece com o tamanho das classes e da população como um todo.
-  * **6.**  Após projetar a população por 25 intervalos de tempo, produza um gráfico com o tamanho de cada classe ao longo do tempo. Faça também um gráfico do total da população ao longo do tempo. Para obter o total da população basta fazer a soma das classes de cada vetor. Verifique o que acontece com o tamanho das classes e da população como um todo.
+  * **4.** Faça agora um gráfico da proporção de indivíduos em cada classe ao longo do tempo. O tipo de gráfico ideal para esse tipo de informação é um gráfico de colunas empilhadas e com soma de 100%. Verifique o que acontece com a distribuição das proporções das classes ao longo do tempo.
+  * **5.** Calcule o lambda , ou seja, o quanto a população total cresceu de um tempo para outro ($\lambda = \frac{N_{t+1}}{N_t}$) e faça o gráfico dessa taxa de crescimento da população ao longo do tempo.
+==== Questões ====
+Use os gráficos  e planilha para avaliar como mudam ao longo do tempo:
+  - O tamanho total da população,
+  - O número de indivíduos em cada estágio,
+  - A proporção dos indivíduos em cada estágio
+  - A taxa de crescimento da população
-  * **7.** Faça agora um gráfico da proporção de indivíduos em cada classe ao longo do tempo. Verifique o que acontece com a distribuição das proporções das classes depois de algum tempo.
-  * **8.** Calcule o quanto a população total cresceu de um tempo para outro ($\lambda = \frac{N_{t+1}}{N_t}$) e faça o gráfico dessa taxa de crescimento da população ao longo do tempo.
 ===== Para saber mais =====

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