Imagine um bêbado andando sempre para frente em uma enorme planície, mas que tem um abismo em um dos lados. A cada passo para frente, ele cambaleia um certo número de passos para a direção do abismo ou da planície, com igual probabilidade.

Este é um dos processos Markovianos mais simples, chamado caminhada aleatória (random walk) em uma dimensão ¹⁾. Se o bêbado cai no abismo a caminhada acaba (e o bêbado também), uma condição que chamamos de fronteira de absorção (absorbing boundary).

O que podemos prever deste processo? Vamos soltar alguns bêbados neste mundo virtual. Para isto usaremos a função Random Walk que se encontra no menu EcoVirtual > Biogeographical Models > Random Walk… A janela com as opções da simulação se abrirá:

Vamos soltar dez bêbados, que cambaleiam 10 passos a cada intervalo, por dez mil intervalos de tempo. Use os parâmetros:

• Number of Species =10
• Step Size = 10
• Maximum Initial Distance = 200
• Initial Distance Equal: marque
• Final Time = 10000

Como em todo processo estocástico, os resultados variam a cada realização. Por isso repita a simulação para se assegurar que entendeu os resultados. Você pode fazer isso repetindo muitas vezes com dez bêbados, ou simplesmente aumentando o número de bêbados, já que que são independentes.

O que acontece se deixamos os bêbados um pouco menos cambaleantes? Experimente reduzir para dois os passos laterais:

• Number of Species = 10
• Step Size = 2
• Maximum Initial Distance = 200
• Initial Distance Equal: marque
• Final Time = 10000

Bêbados que balançam menos estão menos sujeitos a terminar no abismo, ou é apenas uma questão de tempo? Certifique-se disto aumentando o número de intervalos de tempo:

• Number of Species = 10
• Step Size = 2
• Maximum Initial Distance = 200
• Initial Distance Equal: marque
• Final Time = 50000

O bêbado tem igual probabilidade de cair para a direita e para esquerda, portanto ele anda em linha reta, na média. Esta caminhada aleatória equiprovável com fronteira de absorção tem um único desfecho, dado tempo suficiente. Qual é?

O mesmo modelo de caminhada aleatória pode ser aplicado à dinâmica de populações sob estocasticidade demográfica. Se supomos tempo contínuo, a qualquer momento cada população pode perder um indivíduo por uma morte, ou ganhar um por nascimento. Assim, as probabilidades de nascimentos e mortes por tempo são funções das taxas instantâneas de nascimentos $b$ e mortes $d$. Se as duas taxas são iguais, por exemplo, a probabilidade de uma morte é igual à de um nascimento.

A taxa instantânea de crescimento é a diferença entre taxas de nascimentos e mortes ($r=b-d$). A unidade de tempo de $r$ dá a escala de tempo da dinâmica, usada no parâmetro Maximum time.

Para simular esta dinâmica estocástica de nascimentos e mortes no EcoVirtual coloque o cursor na opção One population e então na opção Demographic Stochasticity. Uma janela como esta deve se abrir:

As opções controlam simulações de populações sob caminhada aleatória em tempo contínuo:

Simule a trajetória de 20 populações em que as taxas de mortes e nascimentos sejam iguais, e que começam todas com 10 indivíduos. Deixe o tempo passar até 50 unidades. Para isso mude as opções de simulação para:

• Maximum time: 50
• Number of simulations: 20
• Initial size : 10
• birth rate : 0.2
• death rate: 0.2

e clique em OK. Você deve ver um gráfico de caminhada aleatória muito parecido com o dos bêbados. O número de populações extintas até Maximun time está indicado no canto superior esquerdo do gráfico.

1. A qual parâmetro da simulação da caminhada do bêbados corresponde cada parâmetros da dinâmica estocástica de nascimentos e mortes?
2. Os efeitos do passo e do tempo observados na simulação dos bêbados valem para as simulações das populações?
3. Que consequências esses resultados têm para a conservação e manejo de populações?

• Aqui simulamos uma dinâmica equiprovável de nascimentos e mortes com barreira de absorção. Este é um caso particular de processos estocásticos de nascimentos e mortes. Você encontra mais sobre eles na seção de crescimento denso-independente com estocasticidade demográfica.
• Chemotaxis - How a Small Organism Finds a Food Source: com excelente explicação sobre caminhadas aleatórias e sua aplicação em outra área da biologia. Projeto de alunos do MIT.