✎ Caminhada aleatória: o bêbado e o abismo []

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====== Caminhada aleatória: o bêbado e o abismo ======
{{:ecovirt:roteiro:math:drunkard_walking.jpg?200   |}}


Imagine um bêbado andando sempre para frente em uma enorme planície, mas que tem um abismo em um dos lados. A cada passo para frente, ele cambaleia um certo número de passos para a direção do abismo ou da planície, com igual probabilidade.

Este é um dos processos Markovianos mais simples, chamado caminhada aleatória ([[http://en.wikipedia.org/wiki/Random_walk|random walk]]) em uma dimensão ((como o bêbado dá sempre um passo adiante, apenas o deslocamento lateral é aleatório, e é o que nos interessa aqui. Usamos os passos para frente como medida de tempo)). Se o bêbado cai no abismo a caminhada acaba (e o bêbado também), uma condição que chamamos de fronteira de absorção (//absorbing boundary//). 



======Parâmetros =====

Parâmetros da simulação:

^ Opção ^ Parâmetro ^  O que faz  ^
^ ''Number of Species''| S |número de bêbados|
^ ''Step Size''| step | número de passos para o lado que cada bêbado dá a cada instante de tempo|
^ ''Maximum Initial Distance''| x1max | máximo de distância dos bêbados ao abismo no início da simulação|
^ ''Initial Distance Equal''| alleq=TRUE| **selecionado TRUE**: todos os bêbados com posição inicial igual a ''Maximum Initial Distance'' \\ **não selecionado FALSE**: a posição inicial dos bêbados é um valor sorteado no intervalo 1 até ''Maximum Initial Distance'', com igual probabilidade.|
^ ''Maximum time''|tmax | tempo total da simulação ( medido em número de passos para frente)|

===== Exemplo de uso =====
Vamos soltar dez bêbados, que cambaleiam 10 passos a cada intervalo, por dez mil intervalos de tempo. Use os parâmetros: 

  * S =10
  * step = 10
  * x1max = 100
  * alleq =  TRUE 
  * tmax = 500


Como em todo processo estocástico, os resultados variam a cada realização. Por isso repita a simulação para se assegurar que entendeu os resultados. Você pode fazer isso repetindo muitas vezes com dez bêbados, ou simplesmente aumentando o número de bêbados, já que que são independentes. 

====== Efeito do passo ======

O que acontece se deixamos os bêbados um pouco menos cambaleantes? Experimente reduzir para dois os passos laterais:


  * S = 10
  * step = 2
  * x1max = 100
  * alleq = TRUE
  * tmax = 500


====== Efeito do tempo ======

Bêbados que balançam menos estão menos sujeitos a terminar no abismo, ou é apenas uma questão de tempo? Certifique-se disto aumentando o número de intervalos de tempo:


  * S = 10
  * step = 2
  * x1max = 100
  * alleq = TRUE
  * tmax = 1000




====== Pergunta ======

O bêbado tem igual probabilidade de cair para a direita e para esquerda, portanto ele anda em linha reta, na média. Esta caminhada aleatória equiprovável com fronteira de absorção tem um único desfecho, dado tempo suficiente. Qual é?

====== Populações virtuais ======

O mesmo modelo de caminhada aleatória pode ser aplicado à dinâmica de populações sob [[ecovirt:roteiro:den_ind:di_edrcmdr|estocasticidade demográfica]]. Se supomos tempo contínuo, a qualquer momento cada população pode perder um indivíduo por uma morte, ou ganhar um por nascimento. Assim, as probabilidades de nascimentos e mortes por tempo são funções das taxas instantâneas de nascimentos $b$ e mortes $d$. Se as duas taxas são iguais, por exemplo, a probabilidade de uma morte é igual à de um nascimento. 

A [[ecovirt:roteiro:den_ind:di_rcmdr#taxa_instantanea_de_crescimento|taxa instantânea de crescimento]] é a diferença entre taxas de nascimentos e mortes ($r=b-d$). A unidade de tempo de $r$ dá a escala de tempo da dinâmica, usada no parâmetro ''Maximum time''.


====== Parametros estocasticidade ======

As opções controlam simulações de populações sob caminhada aleatória em tempo contínuo: 

^ Opção ^ Parâmetro ^ Definição ^
^''Enter name for last simulation data set''|objeto no R| nome para salvar os resultados da simulação em um objeto no R |
^''Maximum time''|tmax| tempo máximo da simulação na escala de tempo das taxas  |
^''Number of simulations''|nsim| número de populações a simular  |
^''Initial size''|N0| tamanho inicial das populações  | 
^''birth rate''|b| taxa instantânea de nascimentos ($b$)  |
^''death rate''|d| taxa instantânea de mortes ($d$)  |


===== Um exemplo =====

Simule a trajetória de 20 populações em que as taxas de mortes e nascimentos sejam iguais, e que começam todas com 10 indivíduos. Deixe o tempo passar até 50 unidades. Para isso mude as opções de simulação para os valores a seguir. Você deve ver um gráfico de caminhada aleatória muito parecido com o dos bêbados. O número de populações extintas até ''Maximun time'' está indicado no canto superior esquerdo do gráfico.

  * tmax = 50
  * nsim = 20
  * N0 = 10
  * b = 0.2
  * d = 0.2

====== pop Perguntas ======

  - A qual parâmetro da simulação da caminhada do bêbados corresponde cada parâmetros da dinâmica estocástica de nascimentos e mortes?
  - Os efeitos do passo e do tempo observados na simulação dos bêbados valem para as simulações das populações?
  - Que consequências esses resultados têm para a conservação e manejo de populações?

====== Para saber mais ======

  * Aqui simulamos uma dinâmica equiprovável de nascimentos e mortes com barreira de absorção. Este é um caso particular de processos estocásticos de nascimentos e mortes. Você encontra mais sobre eles na seção de [[ecovirt:roteiro:den_ind:di_edrcmdr|crescimento denso-independente com estocasticidade demográfica]].
  * [[http://www.mit.edu/~kardar/teaching/projects/chemotaxis%28AndreaSchmidt%29/home.htm|Chemotaxis - How a Small Organism Finds a Food Source]]: com excelente explicação sobre caminhadas aleatórias e sua aplicação em outra área da biologia. Projeto de alunos do MIT.
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