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Imagine um bêbado andando sempre para frente em uma enorme planície, mas que tem um abismo em um dos lados. A cada passo para frente, ele cambaleia um certo número de passos para a direção do abismo ou da planície, com igual probabilidade.
Este é um dos processos Markovianos mais simples, chamado caminhada aleatória (random walk) em uma dimensão 1). Se o bêbado cai no abismo a caminhada acaba (e o bêbado também), uma condição que chamamos de fronteira de absorção (absorbing boundary).
O que podemos prever deste processo? Vamos soltar alguns bêbados neste mundo virtual. Para isto usaremos a função Random Walk que se encontra no menu EcoVirtual > Biogeographical Models > Random Walk… A janela com as opções da simulação se abrirá:
Opção | O que faz |
---|---|
Number of Species | número de bêbados |
Step Size | número de passos para o lado que cada bêbado dá a cada instante de tempo |
Maximum Initial Distance | máximo de distância dos bêbados ao abismo no início da simulação |
Initial Distance Equal (caixa de opção) | selecionado: todos os bêbados com posição inicial igual a Maximum Initial Distance ; não selecionado: a posição inicial dos bêbados é um valor sorteado no intervalo 1 até Maximum Initial Distance , com igual probabilidade. |
Final Time | tempo total da simulação ( medido em número de passos para frente) |
Vamos soltar dez bêbados, que cambaleiam 10 passos a cada intervalo, por dez mil intervalos de tempo. Use os parâmetros:
Number of Species
=10Step Size
= 10Maximum Initial Distance
= 200Initial Distance Equal
: marqueFinal Time
= 10000Como em todo processo estocástico, os resultados variam a cada realização. Por isso repita a simulação para se assegurar que entendeu os resultados. Você pode fazer isso repetindo muitas vezes com dez bêbados, ou simplesmente aumentando o número de bêbados, já que que são independentes.
O que acontece se deixamos os bêbados um pouco menos cambaleantes? Experimente reduzir para dois os passos laterais:
Number of Species
= 10Step Size
= 2Maximum Initial Distance
= 200Initial Distance Equal
: marqueFinal Time
= 10000Bêbados que balançam menos estão menos sujeitos a terminar no abismo, ou é apenas uma questão de tempo? Certifique-se disto aumentando o número de intervalos de tempo:
Number of Species
= 10Step Size
= 2Maximum Initial Distance
= 200Initial Distance Equal
: marqueFinal Time
= 50000O bêbado tem igual probabilidade de cair para a direita e para esquerda, portanto ele anda em linha reta, na média. Esta caminhada aleatória equiprovável com fronteira de absorção tem um único desfecho, dado tempo suficiente. Qual é?
O mesmo modelo de caminhada aleatória pode ser aplicado à dinâmica de populações sob estocasticidade demográfica. Se supomos tempo contínuo, a qualquer momento cada população pode perder um indivíduo por uma morte, ou ganhar um por nascimento. Assim, as probabilidades de nascimentos e mortes por tempo são funções das taxas instantâneas de nascimentos $b$ e mortes $d$. Se as duas taxas são iguais, por exemplo, a probabilidade de uma morte é igual à de um nascimento.
A taxa instantânea de crescimento é a diferença entre taxas de nascimentos e mortes ($r=b-d$). A unidade de tempo de $r$ dá a escala de tempo da dinâmica, usada no parâmetro Maximum time
.
Para simular esta dinâmica estocástica de nascimentos e mortes no EcoVirtual coloque o cursor na opção One population e então na opção Demographic Stochasticity. Uma janela como esta deve se abrir:
As opções controlam simulações de populações sob caminhada aleatória em tempo contínuo:
Argumento | Definição |
---|---|
Enter name for last simulation data set | nome para salvar os resultados da simulação em um objeto no R |
Maximum time | tempo máximo da simulação na escala de tempo das taxas |
Number of simulations | número de populações a simular |
Initial size | tamanho inicial das populações |
birth rate | taxa instantânea de nascimentos ($b$) |
death rate | taxa instantânea de mortes ($d$) |
Simule a trajetória de 20 populações em que as taxas de mortes e nascimentos sejam iguais, e que começam todas com 10 indivíduos. Deixe o tempo passar até 50 unidades. Para isso mude as opções de simulação para:
Maximum time
: 50Number of simulations
: 20Initial size
: 10birth rate
: 0.2death rate
: 0.2
e clique em OK
. Você deve ver um gráfico de caminhada aleatória muito parecido com o dos bêbados. O número de populações extintas até Maximun time
está indicado no canto superior esquerdo do gráfico.