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Integral

Exercicios

Integral

A integral está relacionada ao problema do calculo de área sobre curvas, volumes e muitas outras apllicações.

Integrais Indefinidas

As integrais podem ser vistas como antiderivadas, ou seja, a operação inversa da derivada. Vamos agora ver isso no Maxima, peguemos os casos do exercício feito na aula anterior:

Derivadas

Ache as derivadas e em seguida as antiderivadas

$f(x) = exp(x) + x^7$
$f(x) = x + sin(x)$
$f(x) = 5x^3 + 2$
$f(x) = cos(x) + sin(x)$
$f(x) = x^2 + x^3cos(x)$
$f(x) = exp(x) ln(x)$
$f(x) = x^5sin(x)$
$f(x) = \frac{1}{x}$
$f(x) = \frac{1}{x^2}$
$f(x) = \frac{exp(x)}{x}$
$f(x) = \frac{sin(x)}{x^2}$

Integral no Máxima

A função do máxima que opera integrais é integrate que tem como argumentos principais a função e a variável a ser integrada. Há duas formas da função no Máxima,

integrate(2*x, x);
'integrate(2*x,x);

A primeira retorna a solução da Integral, a segunda, a representação simbólica da Integral.

Integrais definidas

$integral1.jpeg$

Podemos pensar a integral definida como a área resultante sob a curva da função em um dado intervalo. Vamos visualizar isso graficamente com a nossa já conhecida função quadratica $f(x)=x^2$ a área no intervalo de 0 até 1. Que em notação matemática é representado como:

$\int_0^1 f(x)~dx$

Área Aproximada

Vamos tentar resolver o problema de forma bastante intuitíva e com as ferramentas que temos ¹⁾. Não sabemos calcular a área sob curvas, apenas áreas de figuras geométricas regulares. Vamos então, transformar a curva em retângulos contíguos e calcular a somatória da área desses retângulos!

Primeiro vamos desenhar o gráfico acima do nosso problema.

##############################
## área sob a curva f(x)= x^2;
## no intervalo 0 a 1
#############################
par(mfrow=c(2,2))
seq.x=seq(0,1.5, by=0.1)
seq.y=seq.x^2
plot(seq.x,seq.y, type="l", bty="l", cex.lab=1.5, cex.axis=1.2, main= "Função x^2", xlab="x", ylab="y")
abline(v=0, lty=2)
abline(h=0, lty=2)
seq.x1=seq(0,1,by=0.1)
seq.y1=seq.x1^2
polygon(c(1,0,seq.x1,1), c(0,0,seq.y1,0),col="red")
title(sub=paste("Área= ??"))
#savePlot("area_x2.jpeg", type="jpeg")

Cálculo da Área

#############################
#### Aproximação da Área ###
###########################
n.seq1=length(seq.x1)
plot(seq.x,seq.y, type="l", bty="l", cex.lab=1.5, cex.axis=1.2, main= "Altura Mínima",xlab="x", ylab="y")
abline(v=0, lty=2)
abline(h=0, lty=2)
abline(v=1, lty=2)
barplot(height=seq.y1[-n.seq1],width=0.1, space=0, col="red", add=TRUE, yaxt="n")

#################################
## calculo da área dos retângulos
##############################
h1=seq.y1[-n.seq1]
(ar1= sum(h1*0.1))
title(sub=paste("Área=",ar1))

Outra Solução

################################
## Altura da área a esquerda 
###############################
plot(seq.x,seq.y, type="l", bty="l", cex.lab=1.5, cex.axis=1.2, main= "Altura Máxima", xlab="x", ylab="y")
abline(v=0, lty=2)
abline(h=0, lty=2)
abline(v=1, lty=2)
barplot(height=seq.y1[-1],width=0.1, space=0, col="red", add=TRUE,, yaxt="n")
lines(seq.x,seq.y)
#################################
## calculo da área dos retângulos
################################
h2=seq.y1[-1]
(ar2= sum(h2*0.1))
title(sub=paste("Área=",ar2))

Altura Média

 
################################
## Altura da área na media  
###############################
plot(seq.x,seq.y, type="l", bty="l", cex.lab=1.5, cex.axis=1.2, main= "Altura Média", xlab="x", ylab="y")
abline(v=0, lty=2)
abline(h=0, lty=2)
abline(v=1, lty=2)
barplot(height=diff(seq.y1)/2+seq.y1[-n.seq1],width=0.1, space=0, col="red", add=TRUE, yaxt="n")
lines(seq.x,seq.y)
#################################
## calculo da área dos retângulos
################################
h3=diff(seq.y1)/2+seq.y1[-n.seq1]
(ar3= sum(h3*0.1))
title(sub=paste("Área=",ar3))
################################

Diminuindo os intervalos

Agora vamos diminuir os intervalos do eixo x, a partir da árean estimada para a altura média do retângulo no intervalo. Esse processo é o mesmo que dizer que o intervalo tende a zero $\Delta x \to 0$ , em outras palavras estamos buscando a somatória de limites. Podemos formular dessa forma: $\int_a^b f(x)~dx = \lim\limits_{\Delta x \to 0} \sum\limits_{i=1}^n f(x_i^*)\Delta x_i$

$d_x=0.1$

##################################################
## DIMINUNIDO O INTERVALO (BASE) DOS RETÂNGULOS ##
##################################################
x11()
par(mfrow=c(2,2))
plot(seq.x,seq.y, type="l", bty="l", cex.lab=1.5, cex.axis=1.2, main= "f(x)=x^2\t ; dx=0.1", xlab="x", ylab="y")
abline(v=0, lty=2)
abline(h=0, lty=2)
abline(v=1, lty=2)
barplot(height=diff(seq.y1)/2+seq.y1[-n.seq1],width=0.1, space=0, col="red", add=TRUE, yaxt="n")
lines(seq.x,seq.y)
title(sub=paste("Área=",ar3))

$d_x=0.05$

##############
### dx=0.05 ##
##############
dx=0.05
seq.05= seq(0,1, by=dx)
seq.05y=seq.05^2
plot(seq.x,seq.y, type="l", bty="l", cex.lab=1.5, cex.axis=1.2, main= paste("dx=", dx), xlab="x", ylab="y")
abline(v=0, lty=2)
abline(h=0, lty=2)
abline(v=1, lty=2)
barplot(height=diff(seq.05y)/2+seq.05y[-length(seq.05y)],width=dx, space=0, col="red", add=TRUE, yaxt="n")
lines(seq.x,seq.y)
#################################
## calculo da área dos retângulos
################################
h4=diff(seq.05y)/2+seq.05y[-length(seq.05y)]
(ar4= sum(h4*dx))
title(sub=paste("Área=",ar4))

$d_x=0.01$

##############
### dx=0.01 ##
##############
dx=0.01
seq.01= seq(0,1, by=dx)
seq.01y=seq.01^2
plot(seq.x,seq.y, type="l", bty="l", cex.lab=1.5, cex.axis=1.2, main= paste("dx=", dx), xlab="x", ylab="y")
abline(v=0, lty=2)
abline(h=0, lty=2)
abline(v=1, lty=2)
barplot(height=diff(seq.01y)/2+seq.01y[-length(seq.01y)],width=dx, space=0, col="red", add=TRUE, yaxt="n")
lines(seq.x,seq.y)
#################################
## calculo da área dos retângulos
################################
h5=diff(seq.01y)/2+seq.01y[-length(seq.01y)]
(ar5= sum(h5*dx))
title(sub=paste("Área=",ar5))

$d_x=0.001$

##############
### dx=0.001 ##
##############
dx=0.001
seq.001= seq(0,1, by=dx)
seq.001y=seq.001^2
plot(seq.x,seq.y, type="l", bty="l", cex.lab=1.5, cex.axis=1.2, main= paste("dx=", dx), xlab="x", ylab="y")
abline(v=0, lty=2)
abline(h=0, lty=2)
abline(v=1, lty=2)
barplot(height=diff(seq.001y)/2+seq.001y[-length(seq.001y)],width=dx, space=0, col="red", add=TRUE, yaxt="n")
lines(seq.x,seq.y)
#################################
## calculo da área dos retângulos
################################
h6=diff(seq.001y)/2+seq.001y[-length(seq.001y)]
(ar6= sum(h6*dx))
title(sub=paste("Área=",ar6))

Maxima

Vamos integrar algumas equações no Maxima. Abra o arquivo integral.wxm e aplique a integral nas funções apresentadas no roteiro.

maxima, integral

¹⁾

Cuidado com o Martelo de Maslow: “… se o único instrumento que tem é um martelo, todos o problemas parecem pregos!”