* [[ecovirt:roteiro:math:exponencial|{{:ecovirt:logcalc.jpg?20|}}]] * [[ecovirt:roteiro:math:exponencialr|{{:ecovirt:rlogo.png?30|}}]] ====== Taxas de crescimento e função exponencial - Roteiro em R====== {{section>ecovirt:roteiro:math:exponencial_base#taxas_de_crescimento_e_funcao_exponencial}} ===== Do tempo discreto para o contínuo ===== {{section>ecovirt:roteiro:math:exponencial_base#do_tempo_discreto_para_o_continuo}} == Se quiser reproduzir este gráfico == Abra o R e cole o código abaixo, linha a linha: tempo=1:10 nbact= c(2,4,8,16,32,64,128,256, 512,1024) plot(tempo, nbact, main="Crescimento de Bactérias", ylab= "número de bactérias", pch=16, col="red",cex.main=1.5, cex=1.5,cex.lab=1.5, cex.axis=1.5,bty="l") {{section>ecovirt:roteiro:math:exponencial_base#continuacao_tempo_discreto}} ==== A noção de derivada ==== {{section>ecovirt:roteiro:math:exponencial_base#a_nocao_de_derivada}} ## para t=1 tempo=1 ##vamos criar um vetor com valores de delta t diminuindo dt=c(0.5,0.1,0.01,0.001,0.0001,0.00001,0.000001) tdt=tempo+dt Nt=tempo^2 Ntdt=tdt^2 (Ntdt-Nt)/dt {{section>ecovirt:roteiro:math:exponencial_base#continua_nocao_de_derivada}} ===Definição de uma derivada=== {{section>ecovirt:roteiro:math:exponencial_base#definicao_de_uma_derivada}} ===== Crescimento Exponencial ===== {{section>ecovirt:roteiro:math:exponencial_base#crescimento_exponencial}} ==== A função exponencial ==== {{section>ecovirt:roteiro:math:a_funcao_exponencial}} Satisfeito(a)? Espero que não, pois simplesmente apelamos para uma tabela de antiderivadas em um programa para encontrar a solução de nossa equação diferencial. Aprendemos a lógica geral da solução de uma equação diferencial, mas não porque a equação que propusemos tem esta solução específica. Uma maneira de entender é retornar ao raciocínio de reduzir intervalos de tempo. Vamos começar com uma população que tem uma taxa de crescimento anual de $\lambda = 1,5$: * $N_1=N_0 \lambda$ , ou: * $N_1=N_0 (1+ rd)$ , onde //rd// = coeficiente discreto de crescimento * $N_1= N_0(1 + 0,5)$ Agora, vamos supor que essa mesma população tenha dois ciclos reprodutivos anuais, portanto temos que calcular o aumento na população no primeiro semestre do ano, e multiplicar este valor novamente pela taxa de crescimento, para obter o tamanho da população no final do ano. Vamos supor que a taxa semestral de crescimento seja metade da anual: $$N_1 \ = \ N_0 \left( 1+\frac{0,5}{2} \right) \left( 1+\frac{0,5}{2} \right)$$ Isso equivale a $$N_1 \ = \ N_0 \left( 1+\frac{0,5}{2} \right)^2 \ = \ N_0(1+0,25)^2 \ \to \frac{N_1}{N_0} \ = \ (1+0,25)^2 \ \simeq \ 1,56$$ Ops! Uma taxa de crescimento de 1,25 ao semestre resulta em um crescimento maior que a taxa anual de 1,5. Não é difícil entender: no segundo semestre a população aumentou em 25% de uma população que já cresceu 25% no primeiro semestre. Mantendo o raciocínio, trimestralmente a taxa seria de $(1 + 0.5/4)$ e deveria ser aplicada quatro vezes. Isso resultaria em um crescimento anual de cerca de 1,60. Onde isso vai parar? [[http://en.wikipedia.org/wiki/Jacob_Bernoulli|Jacob Bernoulli]] foi o primeiro a solucionar este problema, preocupado com o comportamento de [[http://en.wikipedia.org/wiki/Continuously_compounded_interest#Continuous_compounding|juros compostos]], nos idos do século XVII. Ele partiu da expressão usada para calcular estes juros, que nada mais é que a generalização de nossa expressão de crescimento em um ano dividido em n intervalos, : $$ \frac{N_1}{N_0}= \left( 1+\frac{r_d}{n} \right) ^n $$ Em seguida ele notou que para calcular uma dívida (o tamanho da população em nosso caso) que aumenta a todo instante, teríamos que deixar o número de intervalos de tempo ($n$) cada vez maior, tendendo a um número infinitamente grande: $$ \lim\limits_{n \to \infty} \left( 1+\frac{r_d}{n} \right)^n$$ Isto é o mesmo que fazer os intervalos de tempo serem infinitamente pequenos. O que acontece então? Vamos tentar resolver o limite numericamente no R, aumentando o número de divisões dentro de um ano da nossa taxa de crescimento discreta. A princípio vamos deixar o $\lambda =2$, portanto o $r_d=1$ e o $N_0=1$ ; portanto $\frac{N_t}{N_0}= N_t$. Em seguida vamos fazer $\lambda =3$ e $\lambda =1.5$ (r=2 e r=0.5). ############################## #### Crescimento Contínuo #### ############################## n<- c(0:100, 200, 500,1000, 10000, 100000,1e+10) N0 <- 2 rd1 <- 1 N1<-N0* (1+ rd1/n)^n N1_N0= N1[length(N1)]/N0 plot(1:103, N1[1:103]/N0, type="l") text(x=50, y=2.5, labels= paste("Máximo = ", N1[length(N1)/N0])) N1_N0 {{section>ecovirt:roteiro:math:continua_funcao_exponencial}} ==== Tempo de Duplicação ==== {{section>ecovirt:roteiro:math:exponencial_base#tempo_de_duplicacao}} ===== Exercícios ===== {{section>ecovirt:roteiro:math:exponencial_base#exercicios}} ===== Para saber mais ===== {{section>ecovirt:roteiro:math:exponencial_base#para_saber_mais}} {{tag>R maxima uma_população crescimento_exponencial tempo_discreto tempo_contínuo equação_diferencial}}