BASE ===== Taxas de crescimento e função exponencial ===== {{ http://imgs.xkcd.com/comics/fastest_growing.png?500 }} Este roteiro é uma demonstração informal dos principais passos de dedução do modelo de crescimento exponencial, a partir do modelo de crescimento a intervalos discretos. Você vai descobrir que a função exponencial é o limite de um crescimento discreto a uma taxa constante, quando fazemos os intervalos de tempo muito pequenos. Para isso, passaremos pelo conceito de derivadas e pela noção de limite de uma função. Ao final, chegaremos a um dos primeiros princípios em ecologia: na ausência de forças externas, uma população biológica vai crescer ou descrescer exponencialmente. Infelizmente, juros também se comportam assim. ===== Do tempo discreto para o contínuo ===== Para muitos parece mais confortável pensar em mudanças no tamanho da população a intervalos discretos: contamos o número de indivíduos em um instante e no instante seguinte. O [[ecovirt:roteiro:den_ind:di_rcmdr|modelo geométrico]] descreve esta dinâmica, se a população cresce sem limites. O número de indivíduos no próximo intervalo de tempo, $N_{t+1}$, é igual ao número de indivíduos no tempo anterior $N_t$, multiplicado pela taxa de crescimento da população entre os dois intervalos, que chamamos $\lambda$: $$N_{t+1} \ = \ \lambda N_t$$ Mas quanto esperamos entre uma contagem e outra? Se os nascimentos e mortes podem ocorrer a qualquer momento, devemos fazer censos a intervalos bem curtos. Mostraremos que o tempo contínuo é apenas uma outra maneira de pensar no tempo discreto: tornamos os intervalos tão pequenos quanto quisermos. Esse será nosso ponto de partida para deduzir o modelo de crescimento exponencial, com auxílio de algumas ferramentas computacionais. ==== Tempo discreto ==== Vamos acompanhar o crescimento inicial e uma população e bactérias no vídeo ((Caso o vídeo não esteja disponível na sua página entre nesse [[http://www.youtube.com/v/gEwzDydciWc?version=3?.swf?400%C3%97333|link]])): O que pode ser descrito pelo número de bactérias observadas a cada intervalo de tempo: ^Tempo^No. de Bactérias^ |0| 2 | |1| 4 | |2| 8 | |3| 16 | |4| 32 | |5| 64 | |...|...| |14| 16384 | |...| ... | |30| 1073741824 | |...|...| |60|1152921504606846976| É difícil entender o que está acontecendo, apenas olhando essa tabela. Um gráfico pode ajudar. {{:ecovirt:roteiro:den_ind:nbact.jpg}} ===== continuacao tempo discreto ===== Pronto, vc. já simulou os dados do crescimento. Agora é só fazer o gráfico. Veja se consegue fazer parecido com o que apresentamos acima. Em seguida faça um outro gráfico com o tempo chegando a 20. Note que o que temos é uma série temporal, que são registros do tamanho da população em certos instantes de tempo. Uma outra forma de descrever esse processo é saber: * **Quão rápido cresce o número de bactérias** ou, * ** Qual a velocidade de crescimento das bactérias** ===== A noção de derivada ===== Para expressar o quanto a população variou em um dado período de tempo calculamos a taxa de variação da população no tempo $t$ e após um intervalo $\Delta t$: $$\text{Taxa de Variação}= \frac{{N(t + \Delta t) - N(t)}}{\Delta t} $$ Ou seja: tome os valores do número de bactérias em dois tempos próximos e divida pelo tempo decorrido entre uma observação e outra! Entretanto o $ \Delta t $ é arbitrário. Se a população tem períodos reprodutivos bem definidos (p.ex. anuais), o intervalo de observação discreto é natural. Mas e se nascimentos e mortes podem ocorrer a qualquer momento? Quanto menores nossos intervalos de observação, mais precisa será a nossa descrição da dinâmica. Nestes casos parece uma boa ideia fazer o intervalo $\Delta t$ ser o menor possivel, bem próximo de zero. Mas se aproximamos $\Delta t$ de zero, ${N(t + \Delta t) - N(t)}$ tenderia também a zero, já que os tamanhos populacionais nos dois momentos seriam muito parecidos. Portanto o resultado dessa taxa deve ser $0/0$ ((um horror matemático! Veja [[http://www.youtube.com/watch?v=BRRolKTlF6Q|aqui]])). Vamos verificar se essa lógica está correta. Para começar, vamos supor uma população cujo tamanho é igual ao quadrado do tempo decorrido ( $N(t)= t^2 $ ) ((Este não é o modelo biologicamente mais adequado para crescimento de populações, mas é mais didático para entendermos derivação. Depois passaremos ao modelo de crescimento discreto, fique tranquilo(a) )). Vamos então aplicar esta função para intervalos cada vez menores de tempo a partir de t=1, e ver o que acontece para a taxa de variação do tamanho populacional: ===== continua nocao de derivada ===== Ao contrário do que esperávamos, o valor da taxa converge para um número bem definido com a redução de $\Delta t$ ! Repita o procedimento para outros valores tempo. Você deve encontrar este resultado: ^ t ^ ${N(t + \Delta t) - N(t)} / {\Delta t} $ ^ | 1 | 2 | | 2 | 4 | | 3 | 6 | | 4 | 8 | | 5 | 10 | Ou seja, a taxa instantânea de crescimento para $t^2$ tende a $2t$ à medida que $\Delta t$ é reduzido. Podemos reduzir $\Delta t$ o quanto quisermos, e este resultado fica cada vez mais exato. Encontramos a **derivada** da função $N(t)=t^2$ ! ===== Definição de uma derivada===== A derivada de uma função $X(t)$ é sua taxa de variação instantânea, obtida pelo limite da taxa de variação: $$\frac{X(t + \Delta t) - X(t)}{\Delta t}$$ quando $\Delta t \to 0$ ((o que se lê "quando $\Delta t$ tende a zero", ou seja, aproxima-se de zero tanto quanto você quiser.)). Uma das maneiras de representar uma derivada é na notação de uma taxa em relação ao tempo: $$\frac{dX}{dt} = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{X(t + \Delta t) - X(t)}{\Delta t}$$ ===== Crescimento Exponencial ===== Uma maneira simples de pensar em derivadas é que elas são velocidades instantâneas ((o velocímetro de um carro mostra derivadas)). Vamos então descobrir a expressão para a velocidade instantânea de crescimento da nossa população de bactérias: ^Tempo^No. de Bactérias^Velocidade^ |0| 2 | | |1| 4 | 2 | |2| 8 | 4 | |3| 16 | 8 | |4| 32 | 16 | |5| 64 | 32 | As bactérias duplicam-se a cada instante de tempo. Por isso, se a população dobrar, a sua velocidade de crescimento também dobra. Se ela quadruplicar, a velocidade quadruplicará, e assim por diante. Ou seja, //a velocidade de crescimento é proporcional ao tamanho da população//. Já que estamos interessados em velocidades instantâneas, vamos representar esta proporcionalidade com uma derivada: \begin{equation} \frac{dN}{dt}= rN \label{dndt} \end{equation} Em que a constante de proporcionalidade $r$ é chamada taxa intrínseca de crescimento populacional, ou seja, o quanto cada indivíduo contribui instantaneamente para a variação no tamanho da população. Este é o modelo mais simples de crescimento populacional. O modelo é uma //equação diferencial//, pois estabelece uma igualdade entre a derivada de uma função (lado esquerdo) e alguma expressão algébrica, no lado direito da equação. Traduzindo em palavras, este modelo seria //"uma função do crescimento populacional // $N$ //tem derivada proporcional a ela mesma//". A função que tem esta propriedade, ou seja, que satisfaz esta equação é: \begin{equation} \label{ert} N_t=N_0e^{rt} \end{equation} Que é a função de crescimento populacional exponencial. Vamos ver como chegamos a isso! ==== Soluções de equações diferenciais ===== Uma equação diferencial de primeira ordem estabelece uma relação entre a derivada de uma função e alguma outra função matemática. Resolver uma equação destas é encontrar a função cuja derivada satisfaça a relação proposta. O problema é que não há um algoritmo simples para fazer isso. Há muitas regras e tabelas que relacionam derivadas mais simples às suas respectivas funções (as antiderivadas). Além disso, em geral é preciso muita manipulação matemática para expressar a equação diferencial em termos destas formas catalogadas. Mesmo assim, nem sempre se chega a uma solução que pode ser expressa como uma função conhecida, o que chamamos de solução analítica. Felizmente, a equação diferencial ($\ref{dndt}$) é simples o bastante para ter solução analítica conhecida. Melhor ainda, hoje há programas de computador que manipulam regras de matemática simbólica, incluindo as antiderivadas que precisamos para resolver equações diferenciais. São os //Sistemas de Álgebra Computacional//((em inglês CAS, Computer Algebra System)). O Maxima é um desses programas, e pode nos ajudar a solucionar a equação diferencial. Vamos usá-lo //online//. As janelas de código abaixo executam o Maxima //online//: o código é enviado ao servidor [[http://sagecell.sagemath.org/|Sage Cell]], que tem o Maxima pronto para executar comandos. O servidor então retorna o resultado para nossa página. Se preferir, você pode instalar o Maxima em seu computador e executar os mesmos comandos. É uma ferramenta muito útil para resolver problemas matemáticos. Veja nossa [[ecovirt:roteiro:soft:tutmaxima|Introdução ao Maxima]]. ===Solução no Maxima=== O comando abaixo define um objeto chamado ''eq1'' no Maxima, para armazenar a expressão simbólica da nossa equação diferencial $dN/dt=rN$. Clique no botão ''Evaluate'' para criar o objeto:
Agora use o comando ''ode2'' do Maxima para resolver a equação diferencial. O primeiro argumento é a equação diferencial, o segundo a variável dependente ($N(t)$) e o terceiro a variável independente ($t$):
O resultado deve ser: $$ N(t)=c e^{rt} $$ Onde $c$ é uma constante de integração desconhecida. A expressão acima satisfaz a equação diferencial, para qualquer valor de $c$, e isso é tudo que as regras de antiderivação podem nos dar. ===Condições iniciais=== Para ir adiante temos que dar algo mais: as condições iniciais do sistema. Vamos então definir o número inicial de indivíduos na população, $N_0$. Este é o tamanho da população no tempo zero, que substituímos na equação de crescimento exponencial: $$N_0 = c*e^{0} = c*1 = c$$ Logo $c = N_0$, e finalmente temos nossa equação de crescimento exponencial: $$ N_t= N_0 e^{rt} $$ ===== A função exponencial ===== Satisfeito(a)? Espero que não, pois simplesmente apelamos para uma tabela de antiderivadas em um programa para encontrar a solução de nossa equação diferencial. Aprendemos a lógica geral da solução de uma equação diferencial, mas não porque a equação que propusemos tem esta solução específica. Uma maneira de entender é retornar ao raciocínio de reduzir intervalos de tempo. Vamos começar com uma população que tem uma taxa de crescimento anual de $\lambda = 1,5$: * $N_1=N_0 \lambda$ , ou: * $N_1=N_0 (1+ rd)$ , onde //rd// = coeficiente discreto de crescimento * $N_1= N_0(1 + 0,5)$ Agora, vamos supor que essa mesma população tenha dois ciclos reprodutivos anuais, portanto temos que calcular o aumento na população no primeiro semestre do ano, e multiplicar este valor novamente pela taxa de crescimento, para obter o tamanho da população no final do ano. Vamos supor que a taxa semestral de crescimento seja metade da anual: $$N_1 \ = \ N_0 \left( 1+\frac{0,5}{2} \right) \left( 1+\frac{0,5}{2} \right)$$ Isso equivale a $$N_1 \ = \ N_0 \left( 1+\frac{0,5}{2} \right)^2 \ = \ N_0(1+0,25)^2 \ \to \frac{N_1}{N_0} \ = \ (1+0,25)^2 \ \simeq \ 1,56$$ Ops! Uma taxa de crescimento de 1,25 ao semestre resulta em um crescimento maior que a taxa anual de 1,5. Não é difícil entender: no segundo semestre a população aumentou em 25% de uma população que já cresceu 25% no primeiro semestre. Mantendo o raciocínio, trimestralmente a taxa seria de $(1 + 0.5/4)$ e deveria ser aplicada quatro vezes. Isso resultaria em um crescimento anual de cerca de 1,60. Onde isso vai parar? [[http://en.wikipedia.org/wiki/Jacob_Bernoulli|Jacob Bernoulli]] foi o primeiro a solucionar este problema, preocupado com o comportamento de [[http://en.wikipedia.org/wiki/Continuously_compounded_interest#Continuous_compounding|juros compostos]], nos idos do século XVII. Ele partiu da expressão usada para calcular estes juros, que nada mais é que a generalização de nossa expressão de crescimento em um ano dividido em n intervalos, : $$ \frac{N_1}{N_0}= \left( 1+\frac{r_d}{n} \right) ^n $$ Em seguida ele notou que para calcular uma dívida (o tamanho da população em nosso caso) que aumenta a todo instante, teríamos que deixar o número de intervalos de tempo ($n$) cada vez maior, tendendo a um número infinitamente grande: $$ \lim\limits_{n \to \infty} \left( 1+\frac{r_d}{n} \right)^n$$ Isto é o mesmo que fazer os intervalos de tempo serem infinitamente pequenos. O que acontece então? Vamos tentar resolver o limite acima numericamente.Vamos aumentar o número de divisões dentro de um ano da nossa taxa de crescimento discreta. Usaremos $\lambda =2$, (portanto o $r_d=1$) e $N_0=2$. ===== continua função exponencial ===== Compare a taxa de crescimento $N_t/N_0$ com o valor de $e^r$, à medida que você aumenta o número de intervalos de tempo. Repita os cálculos para $\lambda =3$ e $\lambda =1,5$ (r=2 e r=0,5). A esta altura você deve concordar que para o crescimento em um ano ($t=1$) dividido em $n$ intervalos: $$ \lim\limits_{n \to \infty} \left( 1+\frac{r_d}{n} \right) ^n = e^r$$ Ou seja, para intervalos de tempo bem pequenos ((tão pequenos que aproximam o tempo instantâneo)): $$\frac{N_t}{N_0}=e^{rt} $$ $$N_t= N_0 e^{rt}$$ Chegamos à equação de crescimento populacional contínuo. Além disso, chegamos à relação entre a taxa intrínseca de crescimento instantâneo e a taxa de crescimento discreto da população: $$ \lambda = e^r $$ ou $$ r = \ln(\lambda)$$ ===== Tempo de Duplicação ===== Tempo de duplicação ((veja: [[http://en.wikipedia.org/wiki/Doubling_time]] )) é definido como o tempo necessário para uma quantidade duplicar, dada uma taxa constante de crescimento. Podemos aplicar este conceito para o tempo necessário para que uma população com taxa constante de crescimento dobre de tamanho, ou para o tempo até que uma dívida sob taxa fixa de juros dobre de valor. A solução da expressão de tempo de duplicação é simples. Dados o valor inicial ($N_0$), a taxa de crescimento $r$ e o tamanho da população projetada ($2N_0$), resolvemos equação para o tempo: $$2N_0 = N_0e^{rt}$$ Para isso precisamos de um pouco de álgebra apenas. Dividimos os dois lados da equação por $N_0$: $$ e^{rt} = 2 $$ e em seguida tomamos o logarítmo em base natural dos dois lados da equação $$ log(e^{rt}) = log(2) $$ $$ rt = log(2) $$ $$ t = \frac{log(2)}{r} $$ Como $log(2)$ é aproximadamente 0,7 ((com sete casas decimais = 0,6931472)), temos: $$ t_{dupl} \approx \frac{0,7}{r} $$ Se a taxa de crescimento estiver expressa em percentual, como é comum para juros, temos : $$ t_{dupl} \approx \frac{70}{r_{\%}} $$ ===== Exercícios ===== ==== Juros ==== Uma forma para calcular juros composto de um empréstimo ((esse exemplo é simplificado, em geral os juros são calculados pelo saldo e não pela dívida inicial)) é através da equação exponencial, similar à apresentada acima, onde: * r = juros * N0 = valor emprestado * Nt = valor final {{:ecovirt:roteiro:math:pateta_escola_escrevendo.gif?200 |}} Você precisa de 1000 reais emprestados e suas opções em diferentes bancos são: * 10% ao mês * 50% ao ano * 0,5% ao dia - Sabendo que só poderá pagar a dívida daqui a dois anos (à vista), calcule o valor que irá desembolsar. - Calcule o tempo de duplicação para cada uma das taxas de juros acima. ==== Mais juros! ==== {{:ecovirt:roteiro:math:pateta_carro.jpg?300 |}} Imagine que é bolsista PIBIC do Departamento de Ecologia da USP (tinha que ter algo de //ecologia// no exemplo!) e resolveu comprar um carro. Há duas opções que parecem caber no seu bolso de um carro básico (sem ar, direção e freios), ambos com parcela fixas: - valor à vista de R$ 27.000,00 com juros de 1,1% ao mês e pagamento após 100 meses - valor à vista de R$ 31.000,00 com juros de 0,7% ao mês e pagamento após 50 meses * **Responda: ** - Qual o valor final do carro em cada uma das opções; - o valor das prestações; - quantos carros vc. estaria pagando em cada caso? - qual o tempo de duplicação de cada opção? - qual sua segunda opção de profissão? ==== Qualquer semelhança será mera coincidência ==== Segundo o físico [[http://www.albartlett.org/|Al Bartlett]], uma das maiores tragédias da humanidade é a incapacidade de compreender as consequências de taxas de crescimento constantes. Sua [[http://www.albartlett.org/presentations/arithmetic_population_energy.html|palestra]] sobre o tema é um clássico, proferida mais de 1600 vezes! Nesta palestra o Prof Bartlett propõe o seguinte problema: Era uma vez uma civilização de bactérias que vivia em uma garrafa de um litro. A população crescia a uma taxa constante tal que o tempo de duplicação era de um dia. A população crescia e a civilização prosperava, até que a garrafa encheu. Nesse momento, metade das bactérias cessou a reprodução e partiu em busca de outra garrafa, para evitar um desastre demográfico. Assim que encontraram uma nova garrafa de um litro se instalaram e retomaram a mesma taxa de crescimento, tão aliviadas quanto as suas companheiras que ficaram na garrafa original, também crescendo à mesma taxa. Quanto tempo durará o alívio? ===== Para saber mais ===== * Do excelente site de ensino baseado em intuição[[http://betterexplained.com/|Better Explained]]: * [[http://betterexplained.com/articles/an-intuitive-guide-to-exponential-functions-e/|An Intuitive Guide To Exponential Functions & e]] * [[http://betterexplained.com/articles/think-with-exponents/|How to think with logs and exponents]] * [[http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/HistTopics/e.html|História do número e]], do [[http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/|The MacTutor History of Mathematics archive]], University St Andrews. * [[http://en.wikipedia.org/wiki/Exponential_function|Função exponencial]] na Wikipedia. * Site do físico [[http://www.albartlett.org/|Al Bartlett]]. com excelente material sobre as consequências práticas do crescimento de populações e dívidas a taxas constantes. {{tag>R maxima calculo uma_população crescimento_exponencial tempo_discreto tempo_contínuo equação_diferencial}}