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====== Caminhada aleatória: o bêbado e o abismo - Roteiro no EcoVirtual======
{{:ecovirt:roteiro:math:drunkard_walking.jpg?200 |}}
Imagine um bêbado andando sempre para frente em uma enorme planície, mas que tem um abismo em um dos lados. A cada passo para frente, ele cambaleia um certo número de passos para a direção do abismo ou da planície, com igual probabilidade.
Este é um dos processos Markovianos mais simples, chamado caminhada aleatória ([[http://en.wikipedia.org/wiki/Random_walk|random walk]]) em uma dimensão ((como o bêbado dá sempre um passo adiante, apenas o deslocamento lateral é aleatório, e é o que nos interessa aqui. Usamos os passos para frente como medida de tempo)). Se o bêbado cai no abismo a caminhada acaba (e o bêbado também), uma condição que chamamos de fronteira de absorção (//absorbing boundary//).
Para prosseguir você deve ter o ambiente R com os pacotes Rcmdr e Ecovirtual instalados e carregados. Se você não tem e não sabe como ter, consulte a página de [[ecovirt:roteiro:soft:instalacaor|Instalação]].
===== Bebuns virtuais =====
O que podemos prever deste processo? Vamos soltar alguns bêbados neste mundo virtual. Para isto usaremos a função **Random Walk** que se encontra no menu **EcoVirtual > Biogeographical Models > Random Walk**... A janela com as opções da simulação se abrirá:
{{ :ecovirt:roteiro:randomwalk.png?500 |}}
===Opções da simulação===
^ Opção ^ O que faz ^
^ ''Number of Species'' |número de bêbados|
^ ''Step Size'' | número de passos para o lado que cada bêbado dá a cada instante de tempo|
^ ''Maximum Initial Distance''| máximo de distância dos bêbados ao abismo no início da simulação|
^ ''Initial Distance Equal'' (caixa de opção)| **selecionado**: todos os bêbados com posição inicial igual a ''Maximum Initial Distance''; \\ **não selecionado**: a posição inicial dos bêbados é um valor sorteado no intervalo 1 até ''Maximum Initial Distance'', com igual probabilidade.|
^ ''Final Time'' | tempo total da simulação ( medido em número de passos para frente)|
==Exemplo de uso==
Vamos soltar dez bêbados, que cambaleiam 10 passos a cada intervalo, por dez mil intervalos de tempo. Use os parâmetros:
* ''Number of Species'' =10
* ''Step Size'' = 10
* ''Maximum Initial Distance'' = 200
* ''Initial Distance Equal'': marque
* ''Final Time'' = 10000
Como em todo processo estocástico, os resultados variam a cada realização. Por isso repita a simulação para se assegurar que entendeu os resultados. Você pode fazer isso repetindo muitas vezes com dez bêbados, ou simplesmente aumentando o número de bêbados, já que que são independentes.
==== Efeito do passo ====
O que acontece se deixamos os bêbados um pouco menos cambaleantes? Experimente reduzir para dois os passos laterais:
* ''Number of Species'' = 10
* ''Step Size'' = 2
* ''Maximum Initial Distance'' = 200
* ''Initial Distance Equal'': marque
* ''Final Time'' = 10000
==== Efeito do tempo ====
Bêbados que balançam menos estão menos sujeitos a terminar no abismo, ou é apenas uma questão de tempo? Certifique-se disto aumentando o número de intervalos de tempo:
* ''Number of Species'' = 10
* ''Step Size'' = 2
* ''Maximum Initial Distance'' = 200
* ''Initial Distance Equal'': marque
* ''Final Time'' = 50000
==== Pergunta ====
O bêbado tem igual probabilidade de cair para a direita e para esquerda, portanto ele anda em linha reta, na média. Esta caminhada aleatória equiprovável com fronteira de absorção tem um único desfecho, dado tempo suficiente. Qual é?
===== Populações virtuais =====
O mesmo modelo de caminhada aleatória pode ser aplicado à dinâmica de populações sob [[ecovirt:roteiro:den_ind:di_edrcmdr|estocasticidade demográfica]]. Se supomos tempo contínuo, a qualquer momento cada população pode perder um indivíduo por uma morte, ou ganhar um por nascimento. Assim, as probabilidades de nascimentos e mortes por tempo são funções das taxas instantâneas de nascimentos $b$ e mortes $d$. Se as duas taxas são iguais, por exemplo, a probabilidade de uma morte é igual à de um nascimento.
A [[ecovirt:roteiro:den_ind:di_rcmdr#taxa_instantanea_de_crescimento|taxa instantânea de crescimento]] é a diferença entre taxas de nascimentos e mortes ($r=b-d$). A unidade de tempo de $r$ dá a escala de tempo da dinâmica, usada no parâmetro ''Maximum time''.
Para simular esta dinâmica estocástica de nascimentos e mortes no **EcoVirtual** coloque o cursor na opção //One population// e então na opção //Demographic Stochasticity//. Uma janela como esta deve se abrir:
{{ :ecovirt:roteiro:math:onepop_demo_stoc_dialog.png |}}
As opções controlam simulações de populações sob caminhada aleatória em tempo contínuo:
^Argumento^Definição ^
^''Enter name for last simulation data set''| nome para salvar os resultados da simulação em um objeto no R |
^''Maximum time''| tempo máximo da simulação na escala de tempo das taxas |
^''Number of simulations''| número de populações a simular |
^''Initial size''| tamanho inicial das populações |
^''birth rate''| taxa instantânea de nascimentos ($b$) |
^''death rate''| taxa instantânea de mortes ($d$) |
==== Um exemplo ====
Simule a trajetória de 20 populações em que as taxas de mortes e nascimentos sejam iguais, e que começam todas com 10 indivíduos. Deixe o tempo passar até 50 unidades. Para isso mude as opções de simulação para:
* ''Maximum time'': 50
* ''Number of simulations'': 20
* ''Initial size'' : 10
* ''birth rate'' : 0.2
* ''death rate'': 0.2
e clique em ''OK''. Você deve ver um gráfico de caminhada aleatória muito parecido com o dos bêbados. O número de populações extintas até ''Maximun time'' está indicado no canto superior esquerdo do gráfico.
==== Perguntas ====
- A qual parâmetro da simulação da caminhada do bêbados corresponde cada parâmetros da dinâmica estocástica de nascimentos e mortes?
- Os efeitos do passo e do tempo observados na simulação dos bêbados valem para as simulações das populações?
- Que consequências esses resultados têm para a conservação e manejo de populações?
===== Para saber mais =====
* Aqui simulamos uma dinâmica equiprovável de nascimentos e mortes com barreira de absorção. Este é um caso particular de processos estocásticos de nascimentos e mortes. Você encontra mais sobre eles na seção de [[ecovirt:roteiro:den_ind:di_edrcmdr|crescimento denso-independente com estocasticidade demográfica]].
* [[http://www.mit.edu/~kardar/teaching/projects/chemotaxis%28AndreaSchmidt%29/home.htm|Chemotaxis - How a Small Organism Finds a Food Source]]: com excelente explicação sobre caminhadas aleatórias e sua aplicação em outra área da biologia. Projeto de alunos do MIT.