* [[ecovirt:roteiro:comuni:comuni_order|{{:ecovirt:rlogo.png?20|}}]] ====== Introdução à ordenação multivariada ====== Ordenação é um método de redescrição dos dados multivariados de forma a apresentá-los em poucas dimensões, geralmente 2 ou 3, com a menor perda possível de informação. Veja o exemplo da representação gráfica de duas parcelas em um espaço dimensional de duas espécies. {{eucldist.jpeg?400| }} Quando temos apenas duas dimensões de atributos (no caso duas espécies) a representação gráfica dos objetos, no nosso caso as parcelas, é direta. Conforme vamos acrescentando informações de novos atributos (espécies) aos nossos objetos (parcelas), a representação gráfica torna-se mais difícil. Com três dimensões ainda conseguimos representar nossas parcelas em um gráfico. {{graf3sp.jpeg?400 |}} Os muitos métodos de ordenação como Análise de Componentes Principais (PCA), Análise de Coordenadas Principais (PCO), Análise de Correspondência (CA), têm como objetivo a redução das dimensões descritivas para visualizar melhor as relações entre os objetos, quando são descritos por muitas medidas. Para seguir em frente é necessário que você tenha na área de trabalho do R as amostras das comunidades virtuais montadas, como descrito no roteiro [[ecovirt:roteiro:comuni:comuni_virt1|padrões de gradientes em comunidades]]. Certifique-se disso com o comando ''ls()'', que lista os objetos da área de trabalho do R. Na lista resultante devem estar os objetos ''amost.cont'' e ''amost.disc'': > ls() [1] "amost" "amost.cont" "amost.disc" ===== Ordenação Polar ===== {{polar.jpg?250 }} Foi um dos primeiros métodos de ordenação e devido a sua simplicidade foi amplamente usado por ecólogos. Apesar de suas limitações e de ter sido preterido por outros métodos mais sofisticados, a Ordenação Polar (OP) pode produzir resultados com interpretação ecológica relevante. Além disso, entender seu algorítmo simples é uma ótima maneira de entender a lógica geral da ordenação. O objetivo da OP é representar as parcelas em um sistema de coordenadas de forma que a distância entre as parcelas represente suas similaridades e que revelem o gradiente ambiental subjacente. Aqui vamos usar o algoritmo de OP desenvolvido por Bray e Curtis (1957), especificamente para a análise de dados de comunidades de plantas. Para iniciar a análise, primeiro calculamos a dissimilaridade de Bray-Curtis como nossa medida de distância((para saber mais sobre medidas de similaridade e o índice de Bray-Curtis veja a a primeira parte de nosso [[ecovirt:roteiro:comuni:comuni_classr#similaridade_distancia| roteiro sobre análise de agrupamento]] )). Abaixo uma função da função que calcula a dissimilaridade (distância) de Bary-Curtis entre todos os pares de parcelas. Para usar esta função, copie o código abaixo e cole-a na linha de comando do R. dis.bc<-function(dados){ nplot=dim(dados)[2] similar=matrix(NA,ncol=nplot,nrow=nplot) rownames(similar)<-paste("plot", c(1:nplot)) colnames(similar)<-paste("plot", c(1:nplot)) for(i in 1:(nplot-1)){ m=i+1 for(m in m:nplot){ bc.dist=sum( abs(dados[,i]-dados[,m]))/(sum (dados[,c(i,m)]) ) similar[m,i]=similar[i,m]=bc.dist diag(similar)<-0 } } return(round(similar,3)) } ==== Algoritmo da Ordenação Polar ==== * **1.** Use a função acima para produzir a [[ecovirt:roteiro:comuni:comuni_classr#matriz_de_similaridade|matriz de dissimilaridade]] para a nossa amostra de comunidades contínuas: dis1.cont=dis.bc(amost.cont) * **2.** Calcule, para cada uma das parcelas, a soma das distâncias dela em relação às outras parcelas: somadist1.cont=apply(dis1.cont, 1, sum, na.rm=TRUE) somadist1.cont * **3.** Assinalar a parcela com a maior soma de distâncias ((ou seja, aquela mais diferente de todas as outras)) e guardar o seu valor para indicar o início do primeiro eixo (x). Essa será nossa primeira referência no espaço de descrição das nossa parcelas (**ax**). max(somadist1.cont) nomes.parc = names(somadist1.cont) parc.ax = nomes.parc[somadist1.cont==max(somadist1.cont)][1] parc.ax * **4.** Encontrar agora a parcela que tem a maior distância em relação à primeira referência. Essa será nossa segunda referência no nosso espaço de descrição (**bx**) dist.ax=dis1.cont[,parc.ax] dist.ax max.ax=max(dist.ax) max.ax parc.bx=nomes.parc[dist.ax==max.ax] parc.bx *4a. Algumas vezes várias parcelas têm valores iguais de distância em relação à parcela que definimos como **ax**. Nesse caso, ficaremos com aquela que tiver maior soma de distâncias em relação às outras parcelas. Para verificar se este critério de desempate é necessário fazemos assim: somamax.bx=max(somadist1.cont[parc.bx]) parc.bx=parc.bx[somadist1.cont[parc.bx]==somamax.bx][1] parc.bx * **5.** Agora que temos duas referências do primeiro eixo (//parc.ax// e //parc.bx//), podemos calcular a posição de todas as outras parcelas nesse eixo x. Isso funciona como a triangulação que é usada em telemetria para encontrar um animal que está usando um emissor de rádio. Colocando receptores em dois pontos conhecidos e com a informação da distância do emissor (o animal com um rádio colar por exemplo) aos dois receptores, é possível calcular as coordenadas em que o animal está. Veja a representação gráfica do que estamos dizendo: {{bealsform.jpeg}} Para o cálculo utilizamos a equação de Beal (1965) que nada mais é do que resolver a equação da hipotenusa dos dois triângulos acima. Após diversos passos, chegamos finalmente à equação de Beal: $$ x_i \ = \ \frac{ L^2 \ + \ dist_{ax_i}^2 \ - \ dist_{bx_i}^2 }{2L} $$ onde "L" é a distância entre //parc.ax// e //parc.bx// (distância máxima no eixo x), "dist_{ax_i}" é a distância da parcela "i" em relação à //parc.ax//, e "dist_{bx_i}" é a distância da parcela "i" em relação à //parc.bx//, conforme pode ser visualizado na figura acima. * 5a. Agora que entendemos a equação de Beal, antes de aplicá-la, precisamos recuperar os valores de distância das outras parcelas em relação às nossas referências para o primeiro eixo: //parc.ax// e //parc.bx//. Para a //parc.ax// já organizamos em um passo anterior (passo 4) e está no objeto //dist.ax//. Você pode visualizar esses dados executando a primeira linha do código abaixo. Depois, você pode calcular e inspecionar os valores de distância das outras parcelas em relação à //parc.bx//, com os dois comandos seguintes: dist.ax dist.bx=dis1.cont[,parc.bx] dist.bx * 5b. Agora aplique a equação de Beal a todas as parcelas para encontrar a posição delas no eixo x: xi = (max.ax^2 + dist.ax^2 - dist.bx^2)/(2*max.ax) xi * **6.** Agora que temos os valores do eixo x de todas as parcelas podemos calcular o valor do segundo eixo dado pelo teorema de pitágoras: $$ y_i = \sqrt{dist_{ax_i}^2 - x_i^2} $$ yi=sqrt((dist.ax)^2-xi^2) yi * 6a. Agora fazemos um ajuste do valor da //parc.bx// no eixo //yi//, conforme o código abaixo: yi[parc.bx]=max.ax yi * **7.** Temos agora as coordenadas de cada parcal em dois eixos ortogonais. Vamos organizá-las em um único objeto e fazer um gráfico: op1.cont=data.frame(xi,yi) op1.cont plot(op1.cont, pch=19, col=rainbow(length(xi)), xlab="Eixo 1", ylab="Eixo 2") text(op1.cont+0.01, labels=rownames(op1.cont)) ===== Função Ordenação Polar ===== Como somos muito legais, montamos uma função que faz todas essas operações para você não ter que fazer tudo novamente passo a passo. Veja abaixo: ordena.polar=function(dist) { somadist1.cont=apply(dist, 1, sum, na.rm=TRUE) + apply(dist,2,sum, na.rm=TRUE) nomes.parc=names(somadist1.cont) parc.ax=nomes.parc[somadist1.cont==max(somadist1.cont)][1] dist.ax=dist[,parc.ax] max.ax=max(dist.ax) parc.bx=nomes.parc[dist.ax==max.ax] if(length(parc.bx)>1) { somamax.bx=max(somadist1.cont[parc.bx]) parc.bx=nomes.parc[somadist1.cont==somamax.bx][1] parc.bx } dist.bx=dist[,parc.bx] xi= (max.ax^2 + dist.ax^2 - dist.bx^2)/(2*max.ax) yi=sqrt((dist.ax)^2-xi^2) yi[parc.bx]=max(dist.ax) op.xy=data.frame(xi,yi) opx=jitter(op.xy[,1],10) opy=jitter(op.xy[,2],10) plot(opx, opy, pch=19, col=rainbow(length(xi)), xlim=c(-0.1, 1.1), ylim=c(-0.1,1.1), main="Ordenação Polar", sub="Distância Bray-Curtis") text(opx-0.02,opy-0.02 , labels=paste("p",1:dim(dist)[1], sep=""), cex=0.7) return(op.xy) } Vamos aplicar a função para os dados da comunidade virtual contínua e ver se nossos cálculos estão corretos. ordena.polar(dis1.cont) Agora vamos aplicá-la para as comunidades virtuais discretas também. Primeiro, você precisa usar a função ''disc.bc'' para produzir a matriz de dissimilaridade para a nossa amostra de comunidades discretas: dis1.disc=dis.bc(amost.disc) Depois, basta aplicar a função ''ordena.polar'' na matriz de similaridade das comunidades discretas ordena.polar(dis1.disc) ===== Agora é por sua conta! ===== {{polar2.jpg?300 |}} Interprete os padrões observados tendo em vista as características que foram utilizadas para construir ambas comunidades. ===== Interpretação de Ordenações ===== Algumas dicas de interpretação de resultados de ordenações, não só da Ordenação Polar, baseadas no material produzido por Michael Palmer em seu, visualmente não muito atraente, mas ótimo [[http://ordination.okstate.edu/overview.htm|site sobre ordenação]]: - A direção dos eixos é arbitrária e não deve afetar a interpretação; - A escala numérica do eixos não é muito útil para a interpretação (existem algumas exceções como DCA, em que a escala é em unidades de beta diversidade); - Na OP, assim como muitas outras técnicas de ordenação, a ordem dos eixos é importante. Assim, o eixo 1 é mais importante para a interpretação dos gradientes ambientais que o segundo; - A experiência prévia do sistema estudado e conhecimento da literatura pertinente são as ferramentas mais poderosas para a interpretação dos gradientes subjacentes ao padrão revelado pela ordenação; - A interpretação de outros eixos além dos dois primeiros (quando a análise produz) é possível e a decisão de onde parar é uma questão arbitrária e dependente da quantidade e qualidade dos dados. Em algumas técnicas há estatísticas que ajudam a tomar essa decisão; - É desejável que os eixos não sejam correlacionados, o que é garantido por algumas técnicas. Dessa forma é possível interpretar os eixos como gradientes diferentes. \\ \\ Depois de passar pelas etapas de construir comunidades virtuais, amostrá-las e aplicar métodos de classificação e ordenação, acreditamos que vocês compreendam os princípios básicos dos métodos analíticos usados para a descrição de comunidades em ecologia. Como dito no início desses roteiros, existem muitos métodos diferentes para conhecer e muitas coisas ainda para resolver em relação a esses métodos. Um vasto mundo interessantíssimo! ===== Para saber mais ===== * [[http://ordination.okstate.edu|Ordination Methods for Ecologists]], Mike Palmer. (//um excelente panorama das técnicas de ordenação e seu uso em ecologia//). * * [[http://www.alanfielding.co.uk/multivar/index.htm|Clustering and Classification methods for Biologists]]: //site do excelente curso de// [[http://www.alanfielding.co.uk|Alan Fielding]]. * Manly, B. 2008. Métodos Estatísticos Multivariados: Uma Introdução. 3 Ed. Artmed, Porto Alegre. (//Uma das melhores introduções a técnicas multivariadas para biólogos//). * Prado, P.I. //et al.// 2002. Ordenação multivariada na ecologia e seu uso em ciências ambientais. [[http://www.scielo.br/pdf/asoc/n10/16886.pdf|Ambiente & Sociedade, (10), 69-83]]. * Valentin, J. 2012. Ecologia Numérica: Uma Introdução à Análise Multivariada de Dados Ecológicos. Interciência, Rio de Janeiro. (//Outro ótimo texto introdutório//) * Legendre, P., & Legendre, L. 2012. Numerical ecology. Elsevier, Amsterdan. (//o livro de refrência de ecologia numérica. Completo e didático, mas é uma leitura mais avançada//).