Diferenças

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adalardo
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adalardo
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+<WRAP tabs>
+  * [[ecovirt:roteiro:pop_str:pstr_mtexcel|{{:ecovirt:logcalc.jpg?20|}}]]
+  * [[ecovirt:roteiro:pop_str:pstr_mtr|{{:ecovirt:rlogo.png?direct&35|}}]]
+  * [[ecovirt:roteiro:pop_str:pstr_mtrgoogle|{{:ecovirt:roteiro:pop_str:googleLogoPq.png?30|}}]]
+</WRAP>
+====== Modelos populacionais matriciais - Roteiro em R ======
+===== Matriz de Leslie/Leftkovicth =====
+{{:ecovirt:matrix.gif?150 |}}
+O crescimento de uma população com estrutura etária pode ser projetado utilizando-se álgebra matricial. As matrizes de Leslie contêm informação sobre as taxas de natalidade e mortalidade de diferentes classes etárias de uma população e são uma forma robusta de calcular o crescimento populacional e fazer projeções da população para diferentes cenários. Uma generalização da matriz de Leslie ocorre quando a população é classificada por estádios de desenvolvimento(matriz de Leftkovicth), e não por idade . Neste caso, um indivíduo de uma dada classe pode, além de morrer, crescer e reproduzir,  permanecer no mesmo estádio a cada intervalo de tempo. Nessa generalização, as taxas vitais básicas (crescimento, sobrevivência e reprodução) estão embutidas nos valores das matrizes de transição, onde computamos o efeito que o número de indivíduos em cada classe estado exerce nas outras no intervalo de tempo seguinte.
+===== Objetivo =====
+O objetivo desse exercício  é entender como podemos tratar populações estruturadas com estes modelos matriciais.
+Vamos começar com multiplicação de matrizes e análises de autovalor e autovetor!
+===== Entrando na matriz... =====
+{{:ecovirt:roteiro:pop_str:figurapill.jpg?200 |}}
+Vamos imaginar que coletamos em campo dados de uma população de palmeiras. Encontramos que a população é estruturada nos estágios: semente (F1), juvenil (F2) e adulto (F3). Imagine que 50% dos jovens sobreviveram e tornaram-se adultos, 90% dos adultos sobreviveram e que a cada 100 sementes encontradas, foram encontrados 30 juvenis. Ainda, estimamos a produção de sementes por indivíduos juvenis em 0,5 e por adultos em 20. Ou seja:
+{{ :ecovirt:roteiro:pop_str:matrizestruturada.jpeg?400 |}}
+A partir dos dados obtidos podemos construir a nossa matriz de Leslie para a população em questão.
+{{ :ecovirt:roteiro:pop_str:matrizestruturada2.jpeg?300 |}}
+Num censo de número de indivíduos do sistema de estudo encontramos: 100 sementes, 250 juvenis e 50 adultos. O que nos dá um vetor de N(t) na condição inicial.
+Vamos então fazer as projeções para esta população. No R, quando queremos fazer operações matriciais temos uma notação específica, para multiplicação de matriz, por exemplo usamos a notação %*%. E pronto! Ele faz a operação conforme as regrinhas matemáticas para isso.
+<code>
+# matriz de leslie
+A <- matrix(c(0, 0.5, 20, 0.3, 0, 0, 0, 0.5, 0.9), nr = 3, byrow = TRUE)
+A
+# vetor de N iniciais da populacao
+N0 <- matrix(c(100, 250, 50), ncol = 1)
+</code>
+Para fazermos a projeção da população para o tempo (em anos) seguinte:
+$ N(t+1) = An(t) $
+<code>
+N1 <- A %*% N0
+N1
+</code>
+Agora podemos projetar para um intervalo de tempo maior e ver o que acontece.
+<code>
+anos <- 10
+N.projecoes <- matrix(0, nrow = nrow(A), ncol = anos+1)
+N.projecoes[, 1] <- N0
+for (i in 1:anos)
+  {
+    N.projecoes[, i + 1] <- A %*% N.projecoes[,i]
+  }
+par(mfrow=c(1,2))
+matplot(0:anos, t(N.projecoes), type = "l", lty = 1:3, ylab = "n(t)", xlab = "Tempo (t)", xlim=)
+legend("topleft", legend = c("Sementes", "Juvenil", "Adulto"),lty = 1:3, col = 1:3, bty = "n")
+matplot(0:anos, log(t(N.projecoes)), type = "l", lty = 1:3, ylab = "n(t)", xlab = "Tempo (t)", xlim=)
+legend("topleft", legend = c("Sementes", "Juvenil", "Adulto"),lty = 1:3, col = 1:3, bty = "n")
+par(mfrow=c(1,1))
+</code>
+<box 70% red | Exercício 1: Interpretando os gráficos >
+  * A projeção observada no gráfico (a) é condizente com o esperado pelo modelo de crescimento estruturado?
+  * Como você interpretaria o padrão observado no gráfico (b).
+</box>
+==== Uma ajuda ====
+Abaixo uma tem uma função para projetar populações a partir da matriz de transição e do estado inicial (tmax é o tempo máximo de projeção). É basicamente o que fizemos anteriormente, mas agora com a ajuda da função.
+<box blue 90% | Função proj.mat>
+<code>
+########################
+## Projeção Matricial
+########################
+proj.mat<-function(n0, matproj, tmax)
+{
+res.mat<-matrix(NA,nrow=tmax+1,ncol=length(n0))
+res.mat[1,]<-n0
+	for(i in 2:(tmax+1))
+	{
+	res.mat[i,]=matproj %*% res.mat[(i-1),]
+	}
+return(res.mat)
+}
+######################
+## rodando a função ##
+######################
+nEst<-proj.mat(n0=N0, matproj=A , tmax=10)
+matplot(1:11, nEst, type="l")
+#########################
+# tamanho da população ##
+########################
+nPop<-apply(nEst,1, sum)
+plot(1:11, nPop)
+</code>
+</box>
+===== Taxa de Crescimento  =====
+$ \lambda = \frac{N_{t}}{N_{t-1}}$
+Vamos ver como a taxa de crescimento se comporta!
+<code>
+#############################
+# Crescimento da População ##
+#############################
+lambPop<-nPop[2:11]/nPop[1:10]
+matplot(1:10, lambPop, type="b", pch=1)
+</code>
+<box 70% red| Exercício>
+OK! Agora vamos fazer um exercício!
+  * projete a população a tempos mais longos!
+  * veja como se comporta a taxa de crescimento da população $\lambda= \frac{N_t}{N_{t-1}}$
+  * faça o mesmo variando algum parâmetro da matriz de transição
+  * como se comporta essa taxa ao longo do tempo? Ele muda (qualitativamente) quando muda algum parâmetro da população (transições, estado inicial)?
+</box>
+===== Distribuição de Estádios =====
+Uma característica importante da população é a distribuição relativa dos estádios em relação ao total de indivíduos da população. Será que a importância (proporção de indivíduos) de um estágio pode variar ao longo da trajetória da população? Vamos ver?!
+<code>
+##########################
+# proporção das classes ##
+##########################
+propEst<-nEst/nPop
+matplot(1:11, propEst, type="l")
+</code>
+<box 80% red | Exercício>
+  * 1. Qual a contribuição, em proporção de indivíduos, de cada classe (estágio) para o tamanho total da população a cada tempo?
+  * 2. Essa contribuição das classes varia ao longo do tempo?
+  * 3. Ilustre sua resposta com projeções de populações e gráficos dessas simulações.
+  * 4. Calcule a taxa de crescimento da população a cada intervalo de tempo e faça o gráfico dessa taxa ao longo do tempo.
+</box>
+<box 70% red| Exercício (de novo?!!)>
+  * De novo, aumente o tempo da simulação para ver o que acontece
+  * modifique os parâmetros da matriz de transição e do estado inicial para ver se a trajetória se modifica e quais as semelhanças qualitativas do comportamento.
+</box>
+===== Análise de Perturbação =====
+Podemo inferir a contribuição de cada elemento da matriz de transição para a composição da taxa de crescimento populacional através de análises de perturbação da matriz.
+A lógica é bastante intuitiva: se modificarmos uma das transições, mantendo todos os outros elementos da matriz constante, a variação no $\lambda$ será um reflexo da variação do elemento que modificamos. Desse modo, podemos analisar a contribuição de cada transição e consequentemente das taxas vitais em cada estádio para o crescimento da população. Na matriz do nosso exemplo a transição (no caso permanência) na fase de adulto é correspondente à taxa vital de sobrevivência nesse estádio. Podemos então fazer a seguinte pergunta:
+  * ** Se algum fator afetar a probabilidade de sobrevivência do adulto, qual seria o efeito para a população? **
+=== Vamos responder essa pergunta? ===
+<code>
+###########################################
+## Perturbando a sobrevivência do adulto ##
+###########################################
+pert=seq(0,1, by=.05)
+resAd=rep(NA, length(pert))
+names(resAd)<-paste("p", pert, sep="_")
+for(i in 1:length(resAd))
+{
+Ai<-A
+Ai[3,3]<-pert[i]
+projAi= proj.mat(n0=N0,matproj=Ai, tmax=100)
+nAi=apply(projAi, 1, sum)
+lambi=nAi[101]/nAi[100]
+resAd[i]<-lambi
+}
+resAd
+</code>
+<box 80% red| Exercício>
+  * 1. A sobrevivência do adulto tem muita influência no destino da população?
+  * 2. Se você fosse pensar em uma extração sustentável dessa população, como você poderia usar esta análise para fazer alguma recomendação para o manejo?
+  * 3. A extinção da população é imediata quanto a taxa de sobrevivência de adultos é zero?
+  * 4. Faça o mesmo para a transição de sementes para juvenil e compare com a sobrevivência do adulto. Qual transição é mais importante para o destino da população?
+  * 5. A proporção dos estádios em relação ao total da população é diferente entre cenários da matriz com perturbação e da matriz original?
+</box>
+===== Para saber mais =====
+Gotelli, N. J. 2007. Ecologia. Cap.3- Crescimento Populacional Estruturado. Pp. 49-82. Ed. Planta.
+Gurevitch, J, Scheiner, S.M, Fox, G.A. 2009. Ecologia Vegetal. Cap. 5 -  Ed. Artmed, São Paulo.
+[[http://betterexplained.com/articles/linear-algebra-guide/|An Intuitive Guide to Linear Algebra]], do excelente site [[http://betterexplained.com|Better explained]].
+Freckleton, R.P., Silva Matos, D.M., Bovi, M.L.A & Watkinson, A.R. 2003. Predicting the impacts of harvesting using structured population models: the importance of density-dependence and timing of harvest for a tropical palm tree. Journal of Applied Ecology, 40: 846-858.
+Silva Matos, D.M., Freckleton, R.P. & Watkinson, A.R. 1999. The role of density dependence in the population dynamics of a tropical palm. Ecology, 80: 2635-2650.
+===Programas===
+Neste roteiro fizemos os cálculos passo a passo e com algumas aproximações numéricas para compreender os conceitos. Na vida real pesquisadores usam ferramentas computacionais que fazem os cálculos precisos e de um jeito mais prático. Para saber mais veja a apresentação ao pacote [[http://www.inside-r.org/packages/cran/popbio/docs/01.Introduction|popbio]] do ambiente de programação estatística [[http://www.r-project.org|R]]:
+  * Stubben, C., & Milligan, B. (2007). Estimating and analyzing demographic models using the popbio package in R. [[http://www.jstatsoft.org/v22/i11|Journal of Statistical Software, 22(11), 1-23]].
+{{tag>R uma_população população_estruturada}}

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